Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
в 1917 г. Идея такова: в плоских геометриях-евклидовой, Минковского или
аффинной, - где группа конгруэнтности (в декартовых координатах) состоит
из преобразований вида
х ->• Мх + а,
где М - ортогональная, лоренцева или произвольная невырожденная матрица,
особую роль играет подгруппа чистых сдвигов (трансляций)
х -> х + а.
(Заметим, что в случае пространства Минковского сюда не включается
никакое относительное движение, кроме смещения.) А именно, если одна
фигура может быть отображена в другую при помощи
240
Гл. 27. Римановы и аффинно связные многообразия
чистого сдвига, то об этих фигурах говорят не только как о конгруэнтных,
но и как об имеющих одну и ту же ориентацию в пространстве или как о
переводимых одна в другую параллельным смещением. В искривленном
пространстве этому понятию параллельного смещения соответствует понятие
параллельного переноса малой фигуры вдоль кривой с получением, однако,
обычно разных результатов в зависимости от выбора кривой, связывающей
начальную и конечную точки.
Наш подход к этим вопросам обусловлен аналогией с принципом
эквивалентности общей теории относительности, согласно которому некоторые
ее законы можно сформулировать просто утверждением, что соответствующие
законы специальной теории относительности выполняются в инерциальной
системе отсчета (системе "свободного падения"). Системы геодезических
координат в окрестности точки играют роль инерциальных систем. Например,
параллельный перенос вектора вдоль кривой будет определен так, что в
момент прохождения вектора через точку Р кривой его компоненты,
соответствующие у' (где у1,. . ., уп - геодезические координаты в
окрестности Р), почти не изменяются, т. е. имеют нулевые производные по
параметру кривой.
27.5. КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
В этом и двух следующих параграфах обсуждаются три тесно связанных
понятия (ковариантное дифференцирование, абсолютное дифференцирование и
параллельный перенос), любое из которых можно принять за основное, а
остальные вывести из него. Мы рассматриваем здесь аффинно связное
многообразие общего вида.
Частные производные компонент тензора преобразуются подобно компонентам
тензора ранга, на единицу большего, но только в случае линейных
преобразований, а в случае более общих преобразований изменяются по
другому закону. Например, на евклидовой плоскости векторное поле с
постоянными декартовыми компонентами имеет переменные компоненты в
полярной системе координат; поэтому то, что частные производные по г и 0
компонент этого вектора не обращаются в нуль, является особенностью
системы координат г, 0. Чтобы исключить явления такого рода, мы определим
некоторый тензор более высокого ранга, задавая его компоненты в любой
точке Р в геодезической системе координат в окрестности этой точки как
соответствующие частные производные; тогда для вычисления компонент этого
тензора в других системах координат нужно использовать законы
преобразования тензоров.
Пусть Р: х' - а' - произвольная точка, и пусть у1 уп-соответствующие
геодезические координаты. Как и в § 27.2,
х' = а'-гу1-1l$tjkyfyk+ ¦ • •, (27.5.1)
у' =х!- a' + Var'/ft (xJ-a')(xk - yk)+ . .. . (27.5.2)
27.5. Ковариантное дифференцирование
241
В этих равенствах коэффициенты связности относятся к системе координат х1
и их следует вычислять в точке Р. Пусть vt (х1, ...
хп) - произвольное ковариантное векторное поле; обозначим его компоненты
в геодезической системе координат через vt (у1, ... ..., у'1).
Ковариантный тензор второго ранга vt- t-ковариантная производная вектора
v{-определяется (в точке Р) заданием его компонент в системе координат
уР.
Vmlp^di'Jdyilp (t, / = 1, ...,п). (27.5.3)
Найдем вид этого равенства в системе х'. В точке Р мы имеем v~vi и Vi-4j
= Vi-j, потому что в точке Р дх'/ду1 = 6^. Однако vh находящиеся в правой
части равенства (27.5.3), нужно знать не только в точке Р, но и вблизи
нее (для выполнения дифференцирования). Вблизи Р
vt = vk dxk/dy{',
поэтому
д2хк к dyi ду'
В точке Р дх1/ду/ = и т. д., а вторая производная равна -Гг)
. *. / д ( дхк \ \ / dvk дх1 дхк \ .
": / \р~ И:I к- (^(Ц--^))r-(-jjr *7'-v)p + ".
точке Р дх1/ду/=
(по 27.5.1). Поэтому
Vi-1 - dv^dx1-Г 1jVk (27.5.4)
(просуммировано по ft); это и есть правило ковариантного
дифференцирования в произвольной координатной системе; Vi- / (х1, . ..,
хп) образуют дважды ковариантное тензорное поле.
Это правило показывает, что если тензор Vi- / определяется в точке Р
формулой (27.5.3) в частной геодезической системе координат в окрестности
Р, то он правильно определяется тем же равенством и в любой другой
геодезической системе в окрестности Р. Действительно, если х' -
геодезические координаты, то Г?, =0вР и. (27.5.4) согласуется с (27.5.3).
Непосредственным применением ковариантного дифференцирования получаем,
что если ц,- - градиент скаляра / в евклидовом пространстве, то лапласиан
от / в произвольной криволинейной системе координат имеет вид
