Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
утверждалось.
Предположим теперь, что многообразие является римановым или
псевдоримановым и, следовательно, имеет метрический тензор. Начальные
векторы уДО, ..., 0) в (27.12.2) можно взять ортонор-мированными, так что
при х = 0
g>k{x\ ..., xn)Vj(x\ ..., х"; p)vk(x\ ..., х"; q) = ±6pt;
256
Гл. 27. Римановы и аффинно связные многообразия
но все gJk и Vj имеют нулевые ковариантные производные, следовательно,
это равенство выполняется при всех х. Метрический тензор (в
контравариантной форме) в системе координат у' имеет следующие
компоненты:
gpq = gjk (dyP/dxJ) С)уудхк = g>kVj (. ..; р) vk{...\q)\
следовательно, всюду gpq = ± Ьря, а значит, и °gpq = ± &pq всюду, что и
требовалось доказать, потому что матрица (gpq) является обратной к (gpq).
Карта, определяемая новыми координатами у1, ..., у" в iV0c cR", в общем
случае является только частью исходного многообразия М, однако ее можно
расширить до полного плоского многообразия Af', расширив N0 до всего R" и
потребовав, чтобы Г/а и gkl оставались на всем R" константами. Тогда ЛГ-
точно такое же многообразие, что и М, если М было полным и односвязным.
Примером неодносвязного плоского многообразия М служит двумерный тор с
углами 0 и <р в качестве координат и с матри-цей (gjk), всюду равной
единичной матрице размера 2x2. (Это, конечно, не наследуемая при обычном
вложении тора в Е3 метрика.) В таких случаях многообразие ЛГ является
универсальным накрывающим многообразием многообразия Af.
27.13. АНАЛИЗ ЭЙЗЕНХАРТА СИСТЕМ ШТЕККЕЛЯ
Основное физическое применение риманова (точнее, псевдориманова)
геометрия находит в общей теории относительности. В качестве примера
приложений римановой геометрии вне общей теории относительности можно
указать статью Эйзенхарта [1934] о координатных системах, приводящих к
разделению переменных в волновом уравнении; при этом используются
результаты предыдущего параграфа.
Если функция Чг=?(л:1,. . ., хп, t) удовлетворяет волновому уравнению
(V2-(1/с2) dVdt2) ? + I/'T = 0, (27.13.1)
где V2 есть n-мерный лапласиан, а V = V (х1, ..., хп)-заданная
скалярная функция, то, поскольку V не зависит от t, первым
шагом процесса разделения переменных всегда может быть поиск решения вида
Чг = ф(л:1, ..., хп)еш; (27.13.2)
очевидно, что ^(л:1, ..., хп) удовлетворяет приведенному волновому
уравнению
^2ф + (^ + 1/)ф = 0, (27.13.3)
27,13. Анализ Эйзенхарта систем Штеккеля
257
где Я = со2/с2. Такое же уравнение получается и из уравнения Шредингера.
В случае общих криволинейных координат х1, .. ., хп лапласиан можно
записать в виде giJ'ty-1- /, если, конечно, известен метрический тензор;
тогда приведенное волновое уравнение принимает вид
*''ЬЙ7-{Л}В]+(1+1'"*--0- (27',34)
Можно ли решить это уравнение методом разделения переменных или нет - это
зависит от вида функций gtj (. . .) и V (. . .).
В методе разделения переменных (см., например, Морс и Феш-бах [1953])
обычно начинают с рассмотрения частных решений в виде произведения
ф(*\ хп) = Х1(х1)Хг(х2)...Хп(хп).
После подстановки этого произведения в (27.13.4) оказывается, что при
определенном выборе координатной системы (а следовательно, и gij) и
функции V получается система обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка по одному для каждой из функций Xt, зависящая от п
неопределенных так называемых констант разделения, первой из которых
является постоянная К из приведенного выше уравнения. Таким образом
получается достаточно большое семейство частных решений (зависящих от
констант разделения и от констант интегрирования, появляющихся при
решении обыкновенных дифференциальных уравнений), которое должно служить
в качестве полного семейства функций для разложения по ним произвольной
функции от х1,. . хп.
Исследования различных авторов показали, что для разделимости переменных,
т. е. для успеха только что описанной процедуры, необходимы три
ограничения на метрику. Во-первых, координаты должны быть ортогональными,
т. е. матрица (ga) должна быть диагональной. Два других ограничения на
gtj носят название условий Штеккеля и Робертсона. Робертсоном [1927] было
показано, что эти три условия являются также и достаточными для
разделимости, если функция V имеет должный вид. Однако эту теорию нельзя
еще было признать удовлетворительной, потому что тензор gijix1,. . .,
х"), подчиняющийся упомянутым выше условиям, мог и не быть метрическим
тензором в евклидовом или любом другом интересующем нас пространстве.
Поэтому Эйзенхарт [1934] дополнительно к этим трем условиям потребовал
еще, чтобы тензор Римана Rtjhi был тождественно равен нулю. Любой тензор
gjk, удовлетворяющий всем этим условиям, является тогда метрическим
тензором в евклидовом пространстве для некоторой криволинейной системы
координат. Для п=3 Эйзенхарт дал полную классификацию всех систем
координат в Е3, допускающих разделение переменных, и для каждой из таких
систем привел явные формулы для процедуры разделения переменных.
258
Гл. 27. Римановы и аффинно связные многообразия
