Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
окрестности Р0 в окрестность Q0, задаваемое приравниванием
соответствующих нормальных координат (т. е. точка Р с координатами у1,
...,уп отображается в точку Q с координатами до1, ..., до", если y'=w',
i=l "). Говорят, что малая фигура вблизи Р0 приближенно
конгруэнтна малой фигуре вблизи Q0, если первая фигура отображается
преобразованием ф во вторую.
Так как система нормальных координат единственна с точностью до
ортогональных преобразований, в результате получается прибли-
1-i Отношение эквивалентности геометрических фигур.-Прим. перев.
238
Гл. 27. Римановы и аффинно связные многообразия
женно евклидова геометрия. Геодезические, проходящие через Р0, переходят
при -ф в геодезические, проходящие через Q0; легко убедиться в том, что
угол между двумя такими геодезическими (см. формулу ниже) при этом
отображении сохраняется. (Геодезические, не проходящие через Р0, обычно
не переходят в геодезические, если пространство не является плоским.)
Если в точке Р0 пересекаются три или несколько гладких кривых, то звезда,
образованная в Р0 их касательными векторами, отображается в аналогичную
звезду в Q0 с сохранением всех углов. Если Р0АВ - маленький треугольник с
вершиной Р0, т. е. если Р0А, Р0В и АВ-короткие геодезические, то его
образ при отображении ф есть фигура Q0CD, где Q0C и Q0D - геодезические с
теми же длинами, что и Р0А и Р0В, a CD - почти геодезическая, если
треугольник мал, и имеет длину, почти равную длине АВ. Если Р0 и Q0 -
одна и та же точка, а ук и wh - две системы нормальных координат около
этой точки, то конгруэнтности определяются вращениями и отражениями,
оставляющими точку Р0 на месте.
Углы определяются по формуле для углов в криволинейных координатах
евклидова пространства. Если в точке с координатами х' (Х0) = х' (р0)
пересекаются две гладкие кривые х'=х'(Х) и х' =х'([г), то соответствующие
их направления в этой точке
задаются касательными векторами %'=х'(Х0), -х'(ц0), а угол 0
между этими направлениями определяется формулой
созе = ?,^(||ШГ||), (27.4.1)
где
ИбЫЯ/в^Г. llilH?y*f'T*r- (27.4.2)
Знаки абсолютной величины в (27.4.2) здесь не являются необходимыми и
включены в запись формул лишь для последующего их использования в случае
псевдоримановых многообразий.
Аналогичные рассуждения применимы и к псевдоримановым многообразиям. Как
и выше, пусть у1, ..., уп и w1, ..., w11 - нормальные координаты в
окрестностях точек Р0 и Q0 соответственно, т. е. геодезические
координаты, в которых метрический тензор имеет стандартную форму
(27.3.1). Эти координаты единственны только с точностью до преобразований
Лоренца; следовательно, получается приближенная геометрия Минковского, а
не геометрия Евклида. При отображении ф, задаваемом как и ранее, условием
ьу' = г/', геодезические, проходящие через Рд, отображаются в
геодезические, проходящие через Q0, причем с сохранением их типа
(пространственноподобные, нулевые или временноподобные) и с сохранением
угла между двумя геодезическими, задаваемого формулой (27.4.1). Теперь,
однако, cos 0 может быть или больше 1, или меньше -1, значит, 0 может
быть мнимым.
27.4. Геометрические понятия. Принцип эквивалентности___________239
Если же | (или |) - нулевой вектор, то cos 9 принимает бесконечное или
неопределенное значение в зависимости от того, отлична
от нуля величина gjkV%k или нет.
Следует заметить, что, даже если 1 и |-оба пространственноподобные или
оба временноподобные векторы, значение cos В, получаемое по (27.4.1),
может оказаться вне интервала [-1, lj
Упражнение
Покажите, что необходимое и достаточное условие для того, чтобы | cos 0 |
< 1, состоит в том, чтобы все линейные комбинации ? и ? были
пространственноподобными (или все временноподобными). Если cos0=±l, то
найдется нулевой вектор вида с ненулевыми а и ft. (В римановом
многообразии этот нулевой вектор - вектор с нулевыми компонентами,
поэтому ? представляет собой произведение ? на скаляр.)
Для фигур в аффинно связном многообразии углы и длины не определены; тем
не менее существуют некоторые геометрические соотношения, инвариантные
относительно преобразования ф, заданного выше условием yt = w'. Здесь у'
и w' - произвольные геодезические координаты, никакого понятия нормальных
координат нет и геодезические координаты определяются с точностью до
невырожденных линейных или аффинных преобразований. Например, если 1, | и
1-векторы, касательные в точке Р0 к трем кривым, и если 1 лежит в той же
плоскости, что и векторы 1 и |, т. е. если эти три вектора линейно
зависимы, то это же верно и после преобразования. В действительности при
отображении ф
сохраняется любое соотношение вида | = + при заданных а
и Ь. И вообще любое множество таких векторов линейно зависимо тогда и
только тогда, когда линейно зависимо множество их образов при отображении
ф.
Геометрическое понятие параллельного смещения или параллельного переноса
вдоль кривой, которое будет описано в § 27.7, было введено' Леви-Чивитой
