Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
первой вершине, то суммарное отклонение At/ равно (с точностью до
наименьшего порядка малых величин)
= 1UlJRiiki (a'bk-акЬ1). (27.11.2)
Это и есть нужное обобщение формулы (27.11.1). Исходя из формулы
(27.11.2) тензор Римана можно выразить через отклонения (девиации) Ас/,
полученные для различных векторов при параллельном переносе вокруг
произвольных малых петель.
Еще раз подчеркнем, что эта формула справедлива только для малых петель
<ё, тогда как (27.11.1) имеет место для произвольно больших
треугольников. Причина этого в том, что сфера имеет постоянную кривизну.
Если бы та же процедура использовалась для эллипсоида общего вида, то
пришлось бы ограничиться очень малыми треугольниками.
27.12. ПЛОСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ОБРАЩЕНИЕ ТЕНЗОРА РИМАНА В НУЛЬ
Если имеются два римановых многообразия одной и той же размерности, то
возникает вопрос: не являются ли они одним и тем же пространством,
описанным в разных системах координат? С этим вопросом связаны глобальные
топологические проблемы, а также следующая, более локальная задача. Пусть
заданы две римановы метрики, каждая из которых определяется набором "2
гладких
254
Гл. 27. Римановы и аффинно связные многообразия
функций
g/k(x\ ..., хп) (j, k=l, ..., п)
и
g'ikix'1 х'п) (j, k= 1, .... п),
заданных в R" на областях N и N' соответственно. Найдется ли такое
преобразование
X'J==X'J(X1 ХЛ) (/ = 1,...,п)
области N в область N' или части N в часть N', что g/k преобразуется в
g'jk по тензорному закону для ковариантных тензоров второго ранга? Если
это так, то можно считать, что эти две системы координат определяют две
карты одного многообразия. В общем случае это трудный вопрос, на который,
однако, можно дать полный ответ, если функции одного из наборов, скажем
?)*(•••), постоянны; в этом случае пространство оказывается евклидовым, а
тензор Римана обращается в нуль.
Покажем, что, для того чтобы пространство было плоским, необходимо и
достаточно равенство нулю тензора Римана. Предположим сначала, что R'/kl
равен нулю на всем аффинно связном многообразии, и покажем, что в любой
односвязной области можно выбрать такие координаты у1, ..., уп, что
соответствующие коэффициенты связности Г'д тождественно равны нулю. При
наличии метрического тензора можно подобрать такие координаты у\ что gjk
всюду принимают стандартные значения ± bjk J).
Пусть х1, ..., хп-координаты некоторой односвязной карты; рассмотрим
следующую задачу с начальными данными для ковариантного векторного поля
v;(xx, ..., хп):
;=0, т. е. dv!/dxJ ^-Tkijvk = 0, (27.12.1)
(0, .... 0) задано. (27.12.2)
Как известно, эта задача имеет решение при любых начальных данных
(27.12.2), если выполняется условие совместности
д (1>,)/^-d(T^lvk)/dx/ = 0. (27.12.3)
Вычислив производные в этом уравнении по правилу дифференцирования
произведения и еще раз использовав дифференциальное уравнение (27.12.1),
мы придем к уравнению
(-?гГЬ-~т г") vk+nnvm-nrTkvm = о.
В точке Я0, в которой строится геодезическая система координат, всегда
[см. (27.2.6)], а при наличии метрического тензора всегда
можно добиться того, чтобы gjh - ± 1; речь идет о том, чтобы эти
равенства выполнялись в окрестности Р0,- именно такое многообразие
называется плоским.- Прим. перев.
27.12. Плоские многообрмия
255
После переименования немых индексов его можно записать в виде
где Rkju задается формулой (27.9.2). Поскольку тензор Римана равен нулю,
условие совместности выполняется. Пусть vt (х1, ... ..., хп; р) (р = 1,
..., п) суть п решений задачи с начальными данными, которые получаются
при задании п линейно независимых начальных векторов уДО, .. ., 0; р), р=
1, ..., п; для каждого из этих решений у,-. {= 0. Для каждого р= 1, ...,
п рассмотрим теперь другую задачу с начальными данными
ду(х\ ..., хп)/дх' = уДх\ ..., хп; р),
у(0, ..., 0) = 0.
Условие совместности для этой задачи имеет вид
dvjdx>-dVj-ldx' = 0,
т. е. V;. j-Vj. ,- = 0 (другие слагаемые ковариантных производных взаимно
уничтожаются); следовательно, оно выполняется, потому что ковариантные
производные равны нулю. Обозначим решения этой новой задачи с начальными
данными через у? (х1, .. ., хп) и возьмем новые координаты, положив уР =
уР(х1, ..., хп), р=1, ..., п, что допустимо, поскольку в начале координат
якобиан этого преобразования отличен от нуля [потому что он равен
детерминанту матрицы, столбцы которой являются векторами ц; (0, ..., 0;
р), выбранные линейно независимыми]. Согласно теореме о неявной функции,
в некоторой окрестности N0 в IR" х' можно выразить через уР, так что у1,
..., уп становятся новыми независимыми переменными в N0.
Относительно новых координат векторные поля Vj имеют компоненты
V/(y\ •••. Уп> P) = vi(x1, ..., хп; р) дх'/ду1 = = (дуР/дх') дх'/ду1' =
6)'.
Так как эти векторные поля были построены таким образом, чтобы их
ковариантные производные обращались в нуль, то
о=ц/; А=о - = - Г = -t?k.
\
Поэтому все коэффициенты связности в новых координатах равны нулю, что и
