Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
можно учесть как граничные условия. Таким образом, задача о нахождении
спектров турбулентности
Рис. 20.11. Спектр слабой турбу-лентости: 1 - область источника, 2 -
поток энергии в инерционном интервале, 3 - область стока
20.5. Взаимодействие друг с другом волн
437
сводится к нахождению распределений N(k), обращающих в нуль интеграл
столкновений. Одно из решений уравнения ICT{Nk} = 0 мы уже знаем - это
распределение Рэлея-Джинса. Оно, однако, соответствует ситуации, когда
нет потока энергии из области источника в область стока, т. е. система
равновесна. Ненулевым значениям потока энергии через инерционный интервал
отвечают универсальные степенные распределения N(u>) типа 8(и>) ~ и13
[44]. В настоящее время разработаны универсальные способы решения
уравнения (20.33), с которыми читатель может ознакомиться, прочитав обзор
[36].
Глава 21
Автоколебания в распределенных системах
21.1. Общие замечания
Распределенные автоколебательные системы чрезвычайно распространены в
природе и технике [13]. К ним относятся оптические квантовые генераторы
(лазеры), важнейшие функциональные системы живого организма (системы
кровообращения, дыхания, речи), духовые и струнные музыкальные
инструменты, переменные звезды (цефеиды), автокаталитические химические
реакции. Автоколебательный характер имеют некоторые процессы, связанные с
сосуществованием различных биологических видов [1]. В СВЧ-электронике
типичными распределенными автоколебательными системами являются
генераторы обратной волны и ряд других черенковских (в том числе
релятивистских) генераторов.
Как мы уже знаем (см. гл. 14), автоколебательной является всякая
неконсервативная система, в которой в результате развития неустойчивостей
возможно установление незатухающих волновых или колебательных движений,
параметры которых определяются самой системой и не зависят от конечного
изменения начальных условий.
L L Рис. 21.1. Примеры длинных
Рассмотрим на конкретном примере возникновение и ограничение
неустойчивости в распределенной автоколебательной системе. Моделью среды
с усилением может служить линия, представленная на рис. 21.1а. Если среда
активна (т. е. I(U) = - gU, где проводимость g достаточно велика), но
линейна, то любое поданное на вход возмущение будет нарастать. Однако при
достаточно больших амплитудах обязательно вступит в действие один из
механизмов ограничения: проявится нелиней-
линий - моделей активных сред: а - линия без дисперсии; б - линия с
высокочастотными линейными потерями и тем же током I(U)
а)
б)
21.2. Среды без дисперсии. Разрывные волны
439
ность проводимости или емкости, эффект усиления сменится эффектом
искажения и ограничения. Например, активная нелинейная среда, для которой
I{U) = - gU + PgU3, при малых амплитудах представляет собой усилитель
(проводимость отрицательна, т. е. I(U) и -gU), а при больших - это среда
с нелинейным поглощением (U и [I{U)/Ддг]1/3). Здесь механизм ограничения
- нелинейное затухание.
Для одномерных задач можно надеяться на построение более или менее полной
теории автоколебаний, если учесть, что характер протекающих в
неравновесных средах нелинейных волновых процессов определяется конечным
числом комбинаций таких характеристик среды, как дисперсия, нелинейность,
диссипация. Именно это обстоятельство позволяет единообразно подойти к
описанию нелинейных волн в неравновесных средах и на основе рассмотрения
небольшого числа основных (модельных) задач попытаться воссоздать более
или менее общую картину волновых явлений в таких средах.
Нелинейные бегущие волны в активных средах можно описывать в рамках уже
знакомого нам одноволнового приближения, когда ввиду малости нелинейности
удается ограничиться рассмотрением волновых возмущений лишь одного вида.
Рассмотрим несколько типовых задач, в каждой из которых попытаемся
последовать действие нелинейности, диссипации и дисперсии поочередно.
Учтем сначала только нелинейность среды, эквивалентная схема которой дана
на рис. 21.1а. Уравнение для волн в такой линии без дисперсии с
нелинейным активным заполнением имеет вид
dU/dt + V0 dU/dx = -I(U)/C. (21.1)
Если в линии существенны высокочастотные линейные потери
(рис. 21.16), учет их приводит к уравнению следующего вида:
dU/dt + У0 dU/dx - v d2U/dx2 = -I(U)/C. (21.2)
Если учесть еще и реактивную нелинейность (для простоты - квад-
ратичную), то уравнение приобретет наиболее общий вид:
dU/dt + У0 dU/dx + U dU/dx - v d2U/dx2 = -I(U)/C. (21.3)
Рассмотрим теперь каждый из этих случаев.
21.2. Среды без дисперсии. Разрывные волны
Пусть в уравнении (21.1) I(U) = -g(l - (3U2)U. Введем тп = /??/2 и,
перейдя к новой координате ? = х - Vqt и времени рт = t, полу-
440
Глава 21
чим дт/дт = (2g/C)m(l - тп) = <тш( 1 - тп). Это уравнение можно
проинтегрировать, что дает
, 6 , тпо(х - Vqt)
ат = ш--------- -- - In------------ .
1 - m(r, 4) 1 - тпо(х - Vo г)'
m0(x-V0T)
тп\х т) - ---------------------------------------.
m0(x - Voi") + [1 - m0(x - Vqt)} exp(-ar)
