Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
подогреве снизу
В рамках исходных уравнений гидродинамики - уравнений Навье-Стокса -
описать аналитически установление периодических автоколебательных течений
не удается (даже в двумерном приближе-
21.6. Периодические автоколебания в гидродинамических течениях 451
нии). Однако понять механизм их возникновения и доказать соответствующий
факт можно совершенно строго, воспользовавшись теорией бифуркаций и
некоторыми достаточно общими математическими теоремами, в первую очередь
теоремой о центральном многообразии [8]. Мы здесь не имеем возможности
углубляться в соответствующую достаточно тонкую математическую теорию [5,
6, 8, 11, 12]; заметим лишь, что применение теоремы о центральном
многообразии позволяет свести исследование бифуркаций в бесконечномерной
системе к анализу конечномерной системы. В частности, в интересующем нас
сейчас случае рождения периодического течения (т. е. рождения цикла) эта
теорема дает возможность оперировать с размерностью, равной двум, без
какой-либо потери информации об устойчивости [8, гл. 2 и 8]. Аналогичное
утверждение относится и к рождению квазипериодических течений из
периодических (т. е. рождению инвариантного тора), только редуцированная
размерность здесь будет равна уже не двум, а трем (при двух несоизмеримых
частотах течения).
Остановимся подробнее на ином подходе к исследованию автоколебаний в
гидродинамических течениях - подходе, связанном с приближенным описанием
течения с помощью конечномерных динамических систем. Наиболее
распространенным и естественным здесь является так называемое модовое
описание (или метод Галеркина), в котором гидродинамические поля и(х, t)
(скорости, температуры и пр.) представляются в виде линейной комбинации
конечного числа координатных функций Iрп{х) (их обычно называют
базисными):
N
u(x, t) = ^2 an(t)ifin(x), (21.10)
71 = 1
где an(t) - коэффициенты разложения, для которых предстоит получить
конечномерную систему уравнений в обыкновенных производных. Если исходные
уравнение имеют, скажем, вид
(d/dt + М)и(х, t) = f(x, t), и(х, 0) = uq(x), (21.11)
где М - некоторый дифференциальный оператор (в общем случае нелинейный),
а поле и(х. t) достаточно гладкое, определено в ограниченной области и
удовлетворяет однородным краевые условиям на границе области. то
уравнения для an(t) получаются из условий ортогональности невязки Ап =
[(d/dt + М)ип(х, t) - /] базисным функциям tp\, ... , <рп.
452
Глава 21
Естественно, что если эти функции взаимно ортогональны, то вся процедура
существенно упрощается1.
Продемонстрируем вывод подобных конечномерных уравнений на уже
обсуждавшемся примере термоконвекции в ячейке Хеле-Шоу [10]. Исходные
уравнения в приближении Буссинеска, при котором сжимаемостью жидкости в
уравнении непрерывности мы пренебрегаем, имеют вид
Здесь g- ускорение свободного падения, (3 - коэффициент объемного
расширения, Т(х, t) - поле температуры, яг - температуропроводность.
Граничные условия таковы:
Поскольку L 1, Н 1, то можно считать, что скорость жидкости поперек слоя
приближенно равна нулю (приближение плоских траекторий). Тогда
естественно, как и для двумерных течений, ввести функцию тока Ф(ж, у, z,
t), связанную с компонентами скорости vx и vy соотношениями vx = -9Ф/ду,
vy = d'Sl/dx. Тогда уравнения Буссинеска (21.12) можно сформулировать в
терминах функции тока Ф и завихренности ш = -(д2/дх2 + д2/ду2)Ф:
(А = д2/дх2 + д2/ду2 + д2/dz2). Здесь Ra - по-прежнему число Рэлея, Pr =
v/x - число Прандтля, Т - отклонение температуры от
1Метод Галеркина напоминает асимптотический метод для уравнений частных
производных, однако между ними имеется принципиальное различие. В
асимптотическом методе приближенное решение в виде конечного числа членов
ряда переходит в точное решение при устремлении к нулю малого параметра.
Здесь же подобной сходимости нет из-за отсутствия малого параметра, и
повысить точность метода можно, лишь включив в рассмотрение новые
базисные функции. В связи с отсутствием малого параметра обоснование
метода Галеркина представляет собой весьма сложную проблему [9].
dv/dt + (vV)v = -Vp/p + vAv - g/3T, дТ/dt + (vV)T = xA Г, div v = 0.
(21.12)
v = 0, T = 0 при z = ±1;
dvy/dx = Q, vx = 0, дТ/дх = 0 при x - 0, L-, (21.13)
dvx/dy = 0, vy - 0, T = 0 при у - 0, H.
(21.14)
21.6. Периодические автоколебания в гидродинамических течениях 453
равновесного распределения То = -у (поддерживаемого внешним источником
тепла). Граничные условия к (21.14) имеют вид
Ф = Г = О при z = ±1;
Ф = д2Ъ/дх2 = дТ/дх = 0 при х= О, Т; (21.15)
Ф = д2^/ду2 = Т = О при у= О, Н.
В (21.14), (21.15) в качестве единиц измерения расстояния, времени,
скорости, температуры и давления выбраны соответственно толщина слоя d,
d2 /яг, х/d, VT • d, Vp • d. Конечномерную аппроксимацию поля скорости и
температуры (типа (21.10)) для нашей краевой задачи возьмем в виде
(21.16)
После подстановки этих выражений в (21.14) и ортогонализации для Фпт(?) и
Tnm(t) получится система уравнений типа
