Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
периодических стационарных волн. Видно, что при Р(Уо ~ V2)h2 ^ 1 эти
волны будут релаксационными (на фазовой плоскости разрывный цикл )• При
слабой дисперсии (/3 -> 0) это условие выполнено при всех V2 < F02, т. е.
релаксационными будут и медленные (короткие), и быстрые (длинные) волны
{(Vq - V2)/{(3V2) = (2-7г/Л)2, Л - длина стационарной волны). Если же
дисперсия сильная, то складывается чрезвычайно интересная ситуация: в
одной и той же среде возможно существование и синусоидальных (V2 -С F02),
и релаксационных (V2 > F02)) стационарных волн. Физически такая
особенность объясняется довольно просто - дисперсия в данном случае
проявляется лишь в области малых масштабов (т. е. для медленных волн), в
результате чего быстрые волны ведут себя, по существу, так же, как в
нелинейной среде без дисперсии.
Таким образом, автоколебаниям в виде стационарных волн в фазовом
пространстве системы, описывающей стационарные движения, соответствуют
предельные циклы только в тех случаях, когда активная среда обладает
дисперсией (линейной V = V(и>) или нелинейной V = V{U2)).
В общем случае устойчивость или неустойчивость такого цикла не означает
устойчивость или неустойчивость соответствующей ему периодической
стационарной волны. Дело в том, что в рамках уравнений для стационарных
волн не могут быть описаны реальные возмущения, эволюционизирующие во
времени. Непериодические стационарные волны, соответствующие уходящим или
приходящим к циклу траекториям, заданы во всем пространстве от -оо до +ос
и не могут реализоваться в ограниченной системе. Однако в отдельных
случаях связь между устойчивостью предельного цикла и периодической волны
все-таки можно проследить. Например, если в фазовом пространстве
стационарных волн U(t - x/v) при v -> оо продольный цикл неустойчив, то
неустойчива и периодическая стационарная волна (при v = ос - это ужо не
волна, а колебание).
446
Глава 21
21.5. Конкуренция стационарных волн в активной среде
Решение задачи о бегущих волнах дает возможность исследовать и процесс
взаимодействия волн. Естественно, что о взаимодействии имеет смысл
говорить лишь в случаях, когда можно следить за эволюцией отдельных волн,
участвующих в процессе, т. е. в тех случаях, когда трансформация
отдельных воли происходит медленно по сравнению с пространственно-
временными масштабами, характеризующими волны. Это возможно лишь при
малой нелинейности среды, когда локальное поле представляется в виде
суперпозиции отдельных волн. Малость нелинейности, конечно, не означает,
что взаимодействующие волны должны быть синусоидальны. Как мы видели,
форма стационарных волн зависит еще и от дисперсии: если дисперсия и
нелинейность одного порядка, то волны существенно несинусоидальны, при
исчезающе малой дисперсии они релаксационны: если же дисперсия сильная
(по сравнению с нелинейностью), то волны квазисинусоидальны.
Рис. 21.6. Пространственная конкуренция волн в активной нелинейной среде
с низкочастотной (или высокочастотной) вязкостью О х
Ввиду уже упоминавшейся пространственно-временной аналогии между
взаимодействием нормальных колебаний во времени и стационарным
взаимодействием волн в пространстве классические колебательные эффекты
зачастую буквально переносятся на волновые процессы. Для примера на рис.
21.6 приведена иллюстрация пространственного аналога эффекта конкуренции
колебаний в активной нелинейной среде с низкочастотной вязкостью (или
высокочастотной). Этот процесс описывается уравнениями из гл. 16, в
которых время t заменено на координату х. Основываясь на эффекте
пространственной конкуренции, можно построить, в частности, любопытные
волновые приборы, выделяющие из двух или нескольких неизвестных нам
квазигармонических сигналов один с максимальной (или минимальной)
частотой [1].
Именно эффектом конкуренции волн объясняется и кажущееся совершенно
удивительным установление в пространственно-симметричном распределенном
автогенераторе (например, с идеальным отражением на границах)
несимметричных вдоль координаты х стационар-
21.5. Конкуренция стационарных волн в активной среде
447
Рис. 21.7. Несимметричный пространственно-неоднородный режим в резонаторе
с идеальным отражением, заполненном нелинейной средой
ных распределений поля с преобладанием одной из встречных волн (рис.
21.7). Уравнение для амплитуд ai(x, t) и а2(х, t) этих волн при
простейших идеализациях [1] записывается в виде
dai 2/dt±vdai 2/дх -
(21.9)
- pih[ 1 - а(|а1>2|2 + 2|a2>i|2)]aii2 = О
с граничными условиями \ах(х, t)\ = \а2(х, t)\ при х = 0 и х = /, где I -
длина резонатора. Распределение интенсивностей |ai(ат)|2 и |а2(щ)|2 в
стационарном режиме легко восстановить по виду траектории на фазовой
плоскости, построенных по уравнению (21.9) при d/dt ~ О (рис. 21.8). В
коротком резонаторе, где эффект конкуренции проявиться не успевает,
возможен только обычный режим стоячей волны - на фазовой плоскости рис.
21.8 ему соответствует состояние равновесия на
