Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
условии синхронизма
ki+k2=k3, w(k3) = w(ki) + w(k2) + Aw.
Как мы видели в гл. 17. чтобы взаимодействие было эффективным, расстройка
Aw должна быть малой; при увеличении расстройки волны обмениваются друг с
другом все меньшей долей запасенной в них энергии (см. рис. 17.7). В
предельном случае расстроек, больших по сравнению с нелинейностью,
пропорциональной ста, разность фаз Ф = ip3 - tpi - ip2 взаимодействующих
волн быстро изменяется во времени. В уравнении для Ф появляется большая
величина Аш, по сравнению с которой можно пренебречь нелинейными
слагаемыми (т. е. Ф ~ Aw), поэтому движения разделяются на быстрые и
медленные. Тогда, усредняя уравнения для амплитуд Aj ~ A,Ak вшф по
быстровращающейся фазе Ф, мы получаем, что Aj ss 0, т. е. взаимодействие
отсутствует. Ответ правильный, если Aw = const. Однако если расстройка,
достигая время от времени
432
Глава 20
больших значении, в среднем остается близкой к нулю, то взаимодействие
должно быть тем не менее эффективным (хотя и медленным), несмотря на
быстрые пульсации фаз.
Прежде чем мы убедимся в этом, заметим, что подобная ситуация в физике
нелинейных волн встречается довольно часто [35-44]. Случайные
неоднородности среды, флуктуации ее параметров во времени, действие
внешних нерегулярных нолей - вот основные факторы, приводящие к "дрейфу"
собственных частот взаимодействующих волн во времени или пространстве.
Такой "дрейф" возможен и в случае, когда волны, образующие резонансный
триплет, участвуют в большом числе других взаимодействий, влияние которых
на исходный процесс можно грубо представить себе как действие
эффективного внешнего поля. В этом случае приближение хаотических фаз
допускает некоторое обоснование, опирающееся на возможность хаотизации
индивидуальной ангармонической волны под действием регулярных внешних
полей (см. [42] и гл. 22). Конечно, случайные пульсации параметров среды
во времени или в пространстве приводят и к флуктуациям амплитуд волн
(хотя бы потому, что энергия поля на избранной частоте несколько
перераспределяется в пространстве), однако поскольку энергия волн в
среднем не меняется, эти перераспределения энергии по волновому пакету
должны быть невелики. Изменения же фазы ничем не ограничены. Например,
из-за малой флуктуации групповой скорости, приведшей к сдвигу волны лишь
на А/2, фаза уже меняется на 7г/2.
Опираясь на эти соображения, рассмотрим характер взаимодействия трех волн
(17.30), полагая их амплитуды медленно меняющимися, а фазы -
быстроменяющимися функциями времени. При da.j/dx = 0. gi = 0, ?¦" = 0, Ci
= Сг = Сз; Aw = 0 уравнения (17.30) принимают вид:
о,1 = ааза2: а 2 = аа^а\, а3 = - аа3а2. (20.24)
Запишем эти уравнения для квадратов амплитуд Nj = a3a*j {aj - Aj
exp(i<pj)):
Ni = аа{а2аз + к. с., N2 = аа1а2аз + к. с.,
N3 = -aaia2al + к. с.
Если бы фазы были полностью некоррелированы, волны бы не
взаимодействовали и их амплитуды сохранились бы равными начальным
амплитудам aj = N^2 exp{i(pj). Из-за частичной корреляции фаз воли слабое
взаимодействие все-таки есть, поэтому к невозмущенным амплитудам aj
(здесь Nj - медленные функции времени по сравнению
20.25)
20.5. Взаимодействие друг с другом волн
433
с ipj) следует добавить малую поправку ра', порождаемую другими волнами:
dj(t, pit) = Nj/2{nt)exp[iipj(t)]+na'jit, pit).
(20.26)
Вычисляя pia'j из исходных уравнений (17.30а) в приближении заданных
полей двух других волн, в первом порядке по взаимодействию (т. е. по pi)
находим
с
pia'12 = a{N2AN3)1/2 j ехр[г(^3 - ip2,i)]dt,
to
(20.27)
I
pia'3 = -a{NiN2)1/2 j ехр[г(^ + <рг)] dt,
to
где to - большое отрицательное время, когда включилось взаимодействие (т.
е. piat = 0 при t < to). При интегрировании по быстрому времени медленные
переменные (NiNj)1/2 можно вынести из-под интеграла. Подставляя теперь
(20.20), (20.27) в (20.25) и ограничиваясь первым, не исчезающим при
усреднении по фазам приближением, получаем
N3 = a2
NiN2(^exp[i(ipi + <р2)\ J exp[-i{ipi+ip2)]dt'
to
t
N3Ni(exp[i{ip3 - ipi)) j exp[-i(ip3 - ipi)}dt'
to
t
N2N3(exp[i(ip3 - ip2)} J exp[-;i(ip3 - <p2)} dt'
(20.28)
Здесь угловые скобки означают усреднение по фазам. Полагая to -> -сю
/ ^
и интегрируя по частям, можно показать, что (ехр[г0(<)] J ехр[-
- ОО
-ie(t')]dt'^ = 2т. где т - время корреляции функции 0(t). Таким образом,
уравнения, описывающие изменения интенсивностей трех резонансно
взаимодействующих волн в приближении хаотических фаз,
434
Глава 20
имеют вид
N3 = W(NxN2 - N2N3 - NxN3),
N1=N2 = -W{NxN2 - N2N3 - NxN3),
где W = 2<72t. Из этих уравнений по-прежнему следуют соотношения Мэнли-
Роу: N\ - N2 = const, iV3 + iVj = const, N3 + N2 = const, однако характер
взаимодействия совершенно иной, чем в случае динамических фаз. При
заданном уровне суммарной энергии § взаимодействующих волн (она,
очевидно, сохраняется) (20.29) имеют единственное состояние равновесия Nj
= const/wj (j = 1, 2, 3), которое устойчиво (убедитесь в этом
