Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
весьма полезны, в частности, для реализации самокорректирующейся
транспортировки мощного электромагнитного излучения на большие расстояния
- для этого следует обратить волновой фронт слабого сигнала, пришедшего
по трассе предполагаемой транспортировки, от будущего приемника
излучения. Обращение волнового фронта такого сигнала позволяет
использовать "собранную" в его фазовом фронте информацию об этой трассе.
Связанные солитоны [31]. Как мы видели в гл. 17, при резонансном
взаимодействии трех (или двух) пространственно однородных или
стационарных волн в среде с квадратичной нелинейностью обмен энергией и,
следовательно, изменение амплитуд волн осуществляется не при любых
фазовых соотношениях между ними. При определенных разностях фаз возможно
существование стационарного состояния (на рис. 17.5 ему соответствуют
состояния равновесия), в котором амплитуды волн не меняются. Естественно
предположить, что подобное состояние должно существовать и при
взаимодействии модулированных волн - волновых пакетов, если изменение фаз
при их нелинейном взаимодействии сбалансируют эффекты дисперсионного
расплывания. На спектральном языке это, по существу, тот же самый
нелинейный сдвиг частоты, компенсирующий линейный рассинхронизм, о
котором мы говорили в связи с генерацией сателлитов и установлением
солитонов огибающей при распространении волнового пакета в среде с
кубичной нелинейностью. В простейшей постановке, когда взаимодействуют
основная волна и> и ее вторая гармоника 2и>, а дисперсионные эффекты
внутри узкого спектрального интервала существенны лишь на основной
частоте, мы приходим к стандартному уравнению, описывающему солитоны и
двумерные волноводы в среде с кубичной нелинейностью: d2aw/d'x2 - ааш + +
7"ш|аш|2 = 0.
В [31] показано, что связанные солитоны устойчивы по отношению к
возмущениям, не меняющим энергии взаимодействующих пакетов.
Слияние волновых импульсов при взрывной неустойчивости дает пример чисто
энергетического взаимодействия волн. Фазы волн
430
Глава 20
Рис. 20.9. Слияние импульсов при взрывной неустойчивости: а - амплитуды
импульсов превышают критическое значение - импульсы сливаются; б -
амплитуды меньше критических - импульсы разбегаются
при взрывной неустойчивости, как мы знаем (см. (17.3)), быстро
синхронизуются. Поэтому можно сразу записать уравнение для амплитуд трех
волн, удовлетворяющих условию шi + ы2 = ш3, дополнив уравнения (17.31)
слагаемыми, пропорциональными групповым скоростям vi, v2, V3 волн:
дАг дАг , . дА2 дА2 . . дА3 дА3 _ , ,
dt +щ дх 2 3' dt +V2 дх 1 35 dt +U3 дх 1 2'
(Здесь разность фаз волн Ф = tpi +<р-<рз = 0.) Допустим, что при 1 = 0
одна из волн (Д3) существенно преобладала над другими. Тогда для слабых
волн А\, А2 получаются линейные уравнения, из решения которых следует
экспоненциальный рост А±, А2 на начальной стадии. Когда амплитуды всех
трех волн становятся одного порядка, неустойчивость переходит на более
быструю нелинейную стадию и происходит "взрыв" - амплитуды волновых
пакетов обращаются в бесконечность за конечное время loo ~ ln(A03/A0i),
loo ~ 1п(Аоз/А02). (Ль Лг, Лз - начальные амплитуды волн). Ситуация,
очевидно, должна быть похожа на то, что происходит с пространственно
однородными волнами при взрыве. Это и понятно, ведь разбегание волновых
пакетов за счет различия групповых скоростей (vi ф v2 Ф V3) не успевает
проявиться: перекрывающиеся в какой-то момент времени волновые пакеты
перекрываются и при 1 -"• loo, так как слишком быстро они нарастают во
времени. Именно об этом и говорят результаты аналитического и численного
исследо-
20.5. Взаимодействие друг с другом волн
431
вания [30, 34] (рис. 20.9). Естественно, что если начальные амплитуды
импульсов малы, а разность групповых скоростей велика, то импульсы
пройдут один сквозь другой за столь малое время, что неустойчивость не
успеет вступить в нелинейную (взрывную) стадию.
20.5. Взаимодействие друг с другом волн, имеющих случайно модулированные
фазы. Кинетика волн
В общем случае при взаимодействии квазигармонических волн в
слабонелинейных средах изменения амплитуд и фаз волн могут осуществляться
на существенно различных характерных временах. Например, мы уже видели,
что при взрывной неустойчивости фазы волн быстро синхронизуются, после
чего их разность можно считать практически постоянной и на этом фоне
рассматривать нелинейную эволюцию амплитуд (см. гл. 17). Как мы не раз
убеждались, разделение движении на быстрые и медленные позволяет при
исследовании многих явлений продвинуться достаточно далеко без применения
численных методов (вспомним метод разрывных колебаний, асимптотические
методы, базирующиеся на медленности изменения параметров волн и
последующем усреднении, и т. д.).
Рассмотрим сейчас с этой точки зрения элементарный процесс резонансного
взаимодействия волн: распадное взаимодействие трех волн в среде с
квадратичной нелинейностью, для реализации которого требуется выполнение
