Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
(21.4) вместо U2 будет U) и стационарные волны могут иметь вид
последовательности солитонов или кноидаль-ных волн. Примерами солитонов в
неравновесной диссипативной среде могут служить волны на тонкой пленке
воды, стекающей по наклонной асфальтовой мостовой. Такие волны
развиваются из-за неустойчивости и стабилизируются поверхностным
натяжением; крутизна фронта волны увеличивается благодаря действию
нелинейности (см. гл. 24).
Рассмотрим общий одномерный случай, когда в среде присутствуют и
нелинейные потери, и нелинейная реактивность (емкость). Уравнение для
волн в такой среде имеет вид (21.3):
dU/dt + Vo dU/dx + U dU/dx - v d2U/dx2 = (g/C)U( 1 - f3U2).
Упростим немного задачу, предположив, что неконсервативная и
диссипативная нелинейности действуют при разных значениях U. Пусть пока
отсутствует диссипативная нелинейность, т. е. пренебрежем U3 (/3 мало).
Тогда реактивная нелинейность проявляется при малых, а активная - при
больших амплитудах. Ограничимся опять рассмотрением стационарных волн:
? = х - Vt, (Vo - V) dU/d$ + U dU/d? - и d2U/d,t2 - (g/C)U = 0
21.3. Стационарные волны
443
(заметим, что это уравнение при некоторых упрощающих предположениях
описывает периодическое изменение численности популяции при совместном
проживании жертв и хищников). Если g = 0, то в такой системе все
возмущения затухают; если же v = 0, то при g > О, наоборот, возмущение
нарастает. Чтобы движения были финитными, необходимо, чтобы действие этих
двух факторов уравновесилось. Это, очевидно, возможно лишь при V = Vo-
При V ф Vo, как нетрудно убедиться, U -> оо при ? -> ±оо. При V = Vo
получается следующее уравнение:
v d2U/d{2 - U dU/d(, + jU = 0 (7 = g/C). (21.5)
Это уравнение легко проинтегрировать, полагая, что dU/d? = V, 1'dV/dt; -
U{V - 7). Уравнение интегральных кривых имеет вид
udV/dU = U(V -7)/V. (21.6)
Из соотношения (21.5) видно, что существует интегральная прямая,
являющаяся фазовой траекторией: V = 7. Из (21.6) получим
vdV/dU = U[ 1 + 7/{V - 7)П\
{U2 - Uq)/2 = v\V + 7 ln(7 - V)/7\,
где Uo - значение U при Vq = 0. Фазовый портрет этой системы представлен
на рис. 21.5а. Волны с большой амплитудой имеют участок медленных
изменений - на фазовой плоскости ему соответствует движение вблизи прямой
V = 7 - и участок быстрых изменений - на фазовой плоскости ему
соответствует движение по уходящей далеко вниз петле.
Обсудим теперь соответствующий этой ситуации эксперимент - подадим на
вход среды, описываемой уравнением (21.4), синусоидальную волну. На
достаточно большом расстоянии от границы эта волна станет близкой к
стационарной, и ее можно описывать с помощью (21.5) на фазовой плоскости
рис. 21.5а. При движении изображающей точки по траектории типа 1 вблизи V
= 7 функция U(?) меняется как 7^, т. е. растет линейно, а движению по
замкнутой траектории, которое происходит очень быстро, соответствует
крутой передний фронт волны - волна превращается в пилообразную (рис.
21.56).
Легко сообразить, что если мы будем подавать на вход линии передачи, в
которой волны описываются уравнением (21.4) высокочастотные колебания, то
при и> > о;кр они вообще будут затухать;, затем
444
Глава 21
Лу1У\уЛ,
6)
Рис. 21.5. Фазовый портрет (а) и форма стационарных волн (б), описываемых
уравнением (21.5)
с уменьшением и> превратятся в незатухающие волны синусоидальной формы, и
только достаточно низкочастотные волны будут пилообразными.
21.4. Существование и роль предельных циклов
Если нелинейность кубична, т. е. V(U) = Vo - all2 нарных волн будем иметь
то для стацио-
v d2U/dZ2 + [(V - Vb) + all2] dU/dZ + -yU = 0,
откуда видно, что периодические волны существуют лишь при V ф Vo (V > Vo
при а<0иР < Vo при а > 0). Фазовые портреты, соответствующие стационарным
волнам, здесь уже будут традиционно автоколебательными - с предельным
циклом, физическое различие свойств стационарных волн в средах с
реактивной кубичной и квадратичной нелинейностью объясняется тем, что в
среде с кубичной нелинейностью скорость образующих нелинейную
периодическую волну гармоник зависит от их амплитуды (эффект
самовоздействия), и, следовательно, скорость нелинейной волны должна
отличаться от линейной Vo- Если скорости гармоник, образующих
стационарную волну, различны уже в линейном приближении (из-за влияния
дисперсии), то периодическим стационарным волнам также должны
соответствовать предельные циклы.
Например, в активном волноводе или в линии передачи с туннельными
диодами, описываемых при учете дисперсии в области высоких частот
уравнением
д4и д2
M2(U)-/3
dx2dt2 1dxdt
dU _ fduY'
dx \dxj
(21.7)
21.4. Существование и роль предельных циклов
445
где M2(U) = d2U/dt2 - V2(U) d2U/dx2, для стационарных волн имеем
,д2и т Гх (диУ ди , V2 - V2
де У
щ + = °- (21'8)
Это уравнение уже учитывает существование встречных волн в среде с
дисперсией. При V < Vo это уравнение Ван-дер-Поля, имеющее единственный
предельный цикл, который и соответствует автоколебаниям в виде
