Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
самостоятельно). Следовательно, при t -> оо в нашей системе независимо от
начальных условий устанавливается состояние с равным распределением
энергии по степеням свободы (рис. 20.10)
Sj = WjNj = Tq = const. (20.30)
Рис. 20.10. Установление равновесного состояния при взаимодействии трех
волн со случайно модулированными фазами
Такое равновесное распределение соответствует известному закону Рэлея-
Джинса (см. [40]). Если условия синхронизма выполнены сразу для многих
троек волн, то вместо (20.29), суммируя по всем возможным резонансам типа
ш(к) = ш(к') + ш(к"), будем иметь [36, 38]
iVk j [Kk',k"|2(lVk,]Vk" - NkNk, - NkNk") x
x J(k-k'-k")] dk'dk". (20.31)
Здесь (Tk,k',k" - коэффициент, определяющий нелинейное взаимодействие
трех волн с водными числами к, к' и к", а сг(к - к' - к") -
20.5. Взаимодействие друг с другом волн
435
дельта-функция, которая из всех троек волн, для которых выполнены условия
резонанса частот, отбирает только те, для которых выполнены и условия
резонанса волновых чисел. Это уравнение получено для волн, закон
дисперсии которых определен в области как положительных, так и
отрицательных частот, причем предполагаются выполненными условия ш(-к) =
-ш(к).
Как видно, равновесный спектр и при произвольном числе троек волн будет
характеризоваться равнораспределением энергии по степеням свободы.
Уравнение (20.31) имеет решение Nk = T0Wk (это легко проверить прямой
подстановкой с последующим использованием соотношения Шк = Шк' + Wfc").
Уравнения типа (20.31) называют кинетическими уравнениями для волн.
Первое слагаемое в круглых скобках описывает процесс слияния квазичастиц
с импульсами к' и к", т. е. рождение квазичастиц с импульсом к, вторые
два - их уничтожение, за счет распада на квазичас-тицы с импульсами к' и
к". Впервые такие уравнения были получены Пайерлсом для описания "газа"
фононов - акустических волн в твердом теле (диэлектрике) [41].
Во многих случаях, как, например, для волн на поверхности жидкости [36,
37], закон дисперсии волн таков, что условия трехчастотного
взаимодействия не выполнены. В этом случае говорят, что спектр
нераспадный. Тогда основным процессом, определяющим характер нелинейных
волновых явлений в слабонелинейной среде, будет четырехквантовый процесс
типа и>к = Wk1 + Wk2 + Wk3 либо Wk + Wk, = Wk2 +Wk3-В приближении
хаотических фаз волн для его описания, повторяя операции, проделанные при
выводе (20.29) (исходными здесь будут уравнения типа hj и aididk)-, можно
получить кинетическое уравнение
Nk = y|okkik2k3| (NklNk2Nk3 + NkNk3Nks -
- iVkiVkliVk2 - NkNklNk3)S(wk + Wk! - Wk2 ~ ^k3) x
x <5(k + ki - k2 - кз) fiki dk2 ^кз. (20.32)
Здесь спектр волн предполагается непрерывным (Nk -- плотность числа
квантов в спектральном интервале от к до к + Дк). Опять прямая
подстановка показывает, что равновесному состоянию соответствует спектр
Рэлея-Джинса, т. е. равновесное спектральное распределение в ансамбле из
большого числа квазичастиц не зависит от характера взаимодействия
(столкновений) между ними, в результате которого это равновесие
устанавливается.
436
Глава 20
Если среда диссипативна, то существование в ней незатухающих волновых
движений возможно лишь при условии, что траты волновой энергии
компенсируются внешним источником. Во многих случаях (например, при
возбуждении гравитационных волн на поверхности воды ветром [36]) энергия
вкладывается в систему взаимодействующих волн и затем отбирается от нее
за счет диссипации в существенно отдаленных друг от друга в спектральном
пространстве областях (рис. 20.11). Поток энергии из области источника в
область стока энергии осуществляется через инерционный интервал
(спектральную область, где и источники, и стоки энергии отсутствуют) за
счет взаимодействия волн различных масштабов друг с другом. Если фазы
волн в результате взаимодействия хаотизируются, то такой ансамбль волн со
случайными фазами в диссипативной среде, поддерживаемый внешними
источниками энергии, называют слабой волновой турбулентностью [36-38].
Слабая волновая турбулентность описывается с помощью кинетического
уравнения для волн
Nk = Icr{Nk} + ?>(k, Nk) - Г(к, Nk), (20.33)
которое представляет собой уравнение баланса квазичастиц: D(k, 7Vk)
описывает приток энергии в систему, а Г(к, lVk) - ее потерю. Если приток
энергии связан с неустойчивостью, то ?>(к) = 7(k)lVk; сток энергии - это
обычно потери из-за трения, вязкости (например, для волн на поверхности
воды Г(к, lVk) ~ j/k2TVk:) ICT{Nb} - это интеграл столкновений,
учитывающий взаимодействие между волнами в приближении хаотических фаз.
Для трехволновых взаимодействий он совпадает с правой частью (20.31), а
для четырехволновых - с правой частью (20.32).
В инерционном интервале, который в спектральном к-пространстве расположен
между областями источника и стока, стационарное решение кинетического
уравнения - спектр слабой волновой турбулентности - определяется лишь
интегралом столкновений, влияние же области источника и стока энергии
