Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
~ exp(iut - ikx). Тогда из условия совместности уравнений (10.3)-(10.5)
следует, что (ш - kv о)2 = ш 2 = (Аж рое)/т и ш - kv0 = шр соответствует
быстрой волне пространственного заряда, а ш - kv0 = - шр относится к
медленной волне. Из (10.3) и (10.5) находим v1 = (e/m)En3/[i(u> - fcuo)],
Епз = - 4irp'e/(ik), откуда имеем v' = = (4тге2/тп)р'/[к (ш - kv0)} или
/ U)2 п'
v - р Р (10.6)
v° kvо(и> - kv0) Р°
С учетом того, что ш - kv о = ±шр и kv0 = ш ^ и>р из (10.6) получаем
соотношения, связывающие переменные составляющие скорости и плотности
объемного заряда для медленной и быстрой волн соответственно:
V'm "j, р'м v'6 Шр р'6
Vo LJ + Шр Ро ' Vo Ш - ШрРо'
(10.7)
Из соотношений (10.7) видно, что в медленной волне возмущения скорости
находятся в противофазе с возмущениями плотности (знак "-" в первой из
формул (10.7)), а в быстрой - в фазе (знак "+" во второй из формул
(10.7)). Соотношения (10.7) можно еще более упростить, если считать шр
<"с ш (что характерно, например, для вакуумной СВЧ-электроники [8]). В
этом предположении
= V6=<fpti
Vo Ш Ро ' Vo Ш Ро' (1U.OJ
Полученные выражения (10.7) (или (10.8)) сразу проясняют, почему у
быстрой волны энергия положительна, а у медленной отрицательна.
Действительно, например, из (10.8) следует, что для быстрой волны в
области, где возмущение приводит к увеличению плотности р'6, скорость
движения частиц больше vo, а на участках, где плотность уменьшилась,
скорость электронов меньше vq• Поэтому при возбуждении быстрой волны в
потоке преобладают ускоренные по сравнению
10.2. Волны с положительной и отрицательной энергией
203
с v0 электроны и результирующая кинетическая энергия, переносимая пучком,
больше энергии невозмущенного пучка. Если же возбуждена медленная волна,
то в тех областях, где образуется сгущение (увеличение р'м), скорость
электронов, наоборот, меньше v0 и больше v0 там, где возникает разрежение
(уменьшение р'м). В результате при возбуждении в электронном потоке
медленной волны в нем преобладают замедленные по сравнению с v0
электроны, и энергия, переносимая таким пучком, меньше, чем энергия пучка
без волны.
Поскольку для анализируемой системы дисперсионное уравнение имеет вид
е(ш, к) = 1 - Шр/(ш - kv0)2 - 0, (10.9)
то видно, что на ветви ш - kv0 = - шр, соответствующей медленной
волне,
де/диз = 2Шр/(ш - kv0)3 = -2/шр < 0, (10.10)
т. е. энергия этой волны отрицательна. В то же время для быстрой
волны де/дш = -2/озр < 0 и энергия этой волны положительна.
Очевидно, что в противоположность медленной волне волнам с положительной
энергией соответствуют те, с ростом амплитуды которых полная энергия
системы "среда - волна" увеличивается.
Попытаемся получить выражения для плотности потока энергии в электронном
пучке, исходя непосредственно из одномерного уравнения движения пучка в
продольном электрическом поле dv/dt + + vdv/dx = (е/т)Ех, выражения j =
pv для плотности тока и одномерного уравнения непрерывности dj/dх + dp/dt
= 0. Рассмотрим, следуя [9], произведение Exj\ используя уравнение
движения и формулу для j, находим
Exj = (т/е)(dv/dt + v dv/dx)pv. (10.11)
Уравнение (10.11) с учетом уравнения непрерывности принимает вид dWu/dt +
dSn/dx - Exj = 0, (10.12)
где плотность кинетической энергии электронного пучка
Wn = (m/2e)pv2 (10.13)
и плотность потока кинетической энергии
5П = (m/2e)pv3, (10.14)
причем отношение S"/W" = v, т. е. полной скорости пучка.
204
Глава 10
При выводе (10.12)-(10.14) мы не делали допущения о малости возмущений.
Если же предположить, что v = Vq + v', р = ро + р', j = = Jo + j' - jo +
vop' + pov' (возмущения много меньше соответствующих постоянных величин),
то, сохраняя в (10.13) члены второго порядка малости, получаем
Wn = (т/2е) [po(vq + 2v0v' + v'2) + (г>о + 2v0v')p'~). (10.15)
Рассчитаем среднюю за период плотность кинетической энергии для
дрейфующего пучка, положив, что Ех = Епз и пучок локально возмущен на
входе высокочастотным сигналом частоты ш, а далее предоставлен самому
себе, т. е. в нем распространяются волны пространственного заряда, в
частности волны вида
Епз = Е° з exp [iwt - г (к + u>p/v0)x] + Е°3 expfiwi - i(k - u>p/vo)x\,
где Е(r)3 определяется начальным возмущением. С учетом (10.15) имеем
2тг
{Wu) = hj fePov2°d^t) +
о
27Г 27Г
+ ^ / (tm)PoVov'd(wt) + ~ J -p0Vf2 d(u)t) -h
0 0
2 7Г 27r
+ bn j ^P>V°d^ + in / Tp'v°v'd^- (10.16)
о 0
Первый интеграл - плотность энергии невозмущенного пучка, которую мы
обозначим (W°). Поскольку v' и р' представляют собой суперпозицию
гармонических слагаемых (волн пространственного заряда),
то второй и четвертый интегралы равны нулю. Таким образом, нас
интересует
27Г 27Г
= (Wn) - (W°n) = ^~jv'2 d{wt) + ^J v'p' d(u>t). (10.17)
о 0
Так как v' = (i'/m)En3/i(w - kvo), a v' и p' для шр <C w связаны
соотношениями (10.8). то, вычисляя интегралы в (10.16), имеем для быстрой
10.2. Волны с положительной и отрицательной энергией
205
и медленной волн пространственного заряда
<Wnp.6 * Wnp.M "-Щгъ-р < °- (10Л8)
