Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
xt, то можно получить, например, фокус - точку, в которой сходятся две
или три группы, потом эти группы опять разбегаются (рис. 8.3). При этом
проявляется неоднозначность в решении (в потоке невзаимодействующих
частиц). Здесь очевидна аналогия и с поведением лучей в обычной
геометрической оптике. В [4], например, показано, что эта аналогия не
случайна, и для диспергирующей среды естественно говорить о приближении
пространственно-временной геометрической оптики.
Рис. 8.2. Поведение группы волн на плоскости xt; вдоль жирных прямых X -
Vrpt = const (А = 2-к/к - const) траектория гребней волн, возникающих из
"ничего" и исчезающих на фронте, показаны тонкими линиями [3]
8.1. О различных способах введения понятия групповой скорости 183
^\АААА-
ЭДЛЛ
г)
б)
Рис. 8.3. Схема сжатия и последующего расплывания частотно-модулированной
волны (а) и соответствующая пространственно-временная диаграмма (б)
Рис. 8.4. К графическому определению arp: а - vrp > 0; б - vrp > 0 для А
= Ах и агр < 0 для А = А2. Отрезок, отсекаемый на оси ординат касательной
к кривой 1>ф(А), проведенной, например, в точке А = Ао этой кривой, равен
|ифо - Ао(9аф/9А)о|
Если заменить со через уфк и использовать к = 27т/А, то из определения
vrp = дсо/дк приходим к формуле Рэлея
$1]
"гр = Уф - (8.15)
Из (8.15) видно, что групповая скорость может быть как положительной, так
и отрицательной; как больше фазовой, так и меньше. Простой способ
определения vrp по кривой = нф(А) был предложен еще Эренфестом. Этот
способ легко понять из рис. 8.4. Примерами реальных волн, у которых vrp и
Уф противоположны по направлению, служат обратные электромагнитные волны
или обратные пространственные гармоники электромагнитной волны, которые
распространяются
184
Глава 8
в замедляющих системах, используемых в усилителях и генераторах типа ЛОВ.
Мы не касались вопроса о скорости распространения короткого импульса в
диспергирующей среде. Современное изложение состояния этого вопроса дано
в [5]. Подчеркнем лишь, что для короткого импульса и импульса с широким
частотным спектром понятие групповой скорости становится неопределенным:
форма импульса сильно искажается по мере его распространения.
Наконец, введем понятие скорости распространения энергии в среде:
_ Средняя плотность потока энергии Средняя плотность энергии
Как показано М. А. Леонтовичем, в том случае, когда в среде отсутствует
поглощение и нет вращения плоскости поляризации, V совпадает с vrp.
Разумеется, по-прежнему нужно, чтобы спектр пакета был достаточно узким.
8.2. Групповая скорость волн в некоторых сплошных средах
1. Для гравитационных волн на глубокой воде и = ifgk (см. гл. 5), т.
е. дш/дк - (1/2){g/k)1!2, но = ш/к = (g/k)1/2. и, следовательно,
нГр = уУф- (8.16)
Тогда из (8.16) видно, что для длинных волн и фазовая, и групповая
скорости могут быть больше скорости света с в вакууме. Но ведь ни один
сигнал не может распространяться со скоростью, большей с. (Мандельштам в
работе [1] доказывает это утверждение, анализируя распространение сигнала
в двух инерционных системах, движущихся друг относительно друга с
постоянной скоростью Vo-1) В нашем примере парадокс объясняется просто:
закон дисперсии и. следовательно, формула для Вф выведены для несжимаемой
жидкости. Предположение же о несжимаемости противоречит теории
относительности.
1Исходя из формулы t' = [t - (Vox)/с2]\fl - (V/c)2 связывающей отсчеты
вре-
мени t и t' в этих системах, нетрудно показать, что если скорость сигнала
в нештрихованной системе больше с, то в штрихованной системе нарушается
принцип причинности - сигнал придет раньше, чем он вышел.
8.2. Групповая скорость волн в некоторых сплошных средах
185
2. Для капиллярных волн из (5.58) следует, что ш = kz/2(cr / р)1/2 и vrp
= duj/dk = (3/2)(ш/к) = (3/2)г>ф, т. е. скорость распространения энергии
vTp капиллярных волн больше скорости vrp гребней (для данной длины
волны).
3. В гл. 5 мы уже отмечали, что в одномерном "холодном" потоке электронов
ленгмюровские колебания переносятся электронами с дрейфовой скоростью vo,
т. е. vrp = vg. Кроме того, было установлено, что в неподвижной "горячей"
плазме волна переносит энергию со скоростью vrp и Зкго л/кТе/те, много
меньшей тепловой. Рассмотрим теперь распространение поперечной плоской
волны через ионосферу, состоящую из неподвижных свободных электронов.
При этом в отличие от гл. 5 проанализируем колебания в плазме с
электродинамической точки зрения. Исходя из уравнений Максвелла и
уравнения непрерывности в предположении, что все переменные изменяются по
закону ехр(гш? - гкг), находим (см. [6])
Используя теперь уравнения движения заряженных частиц, вектор
электрической индукции D можно выразить через вектор напряженности
электрического ноля Е: D = еЕ, где е -- тензор диэлектрической
проницаемости среды. Подставив это выражение для D в (8.17), получим
систему линейных однородных уравнений, поскольку Dn - ^ЕарЕр. еар - -
матрица. Условие совместности этой 0
