Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
емкостью. Подобная "среда" описывается телеграфными уравнениями д!/дх = -
С(х) dU/dt. dU/dx = -L0 dl/dt. которые приводят к волновому уравнению
d2U/dx2 - L0C(x) d2U/dt2 = 0.
Рис. 11.1. Примеры простейших параметрических систем: а - маятник с
изменяющейся во времени длиной; б - колебательный контур с изменяющейся
во времени емкостью; в - длинная линия, емкость которой периодически
изменяется с координатой
Будем искать решение волнового уравнения в виде U(x. t) = = V(х)
exp(iwt), и пусть, кроме того. С(х) = Со[1 - /j,(Ci/Co) cos ^х], Vq =
l/(L0Co)• Тогда для V(x) получается уравнение
d2V(x)jdx2 + (w/t>0)2[l - fj.(Ci/Co) cos<71 a-]F(ж) = 0. (H-3)
Ограничившись рассмотрением параметрических систем с одной степенью
свободы, описываемых уравнением общего вида уравнением Хилла
'Ш.
а)
б)
в)
х + ш2{1)х = 0.
(11.4)
11.2. Параметрический резонанс
219
где ш2(Ь) - периодическая функция времени, попытаемся ответить на
следующие вопросы.
Возможна ли неустойчивость в параметрических системах? Если возможна, то
при каких условиях она возникает? Каковы границы областей неустойчивости?
Приведем простейшие сведения из теории дифференциальных уравнений с
периодическими коэффициентами и, в частности, теорему Флоке, которая
определяет структуру решения системы линейных дифференциальных уравнений
с периодическими коэффициентами. В общем случае теорема формулируется
так: система с п степенями свободы, описываемая дифференциальным
уравнением порядка 2п с периодическими коэффициентами периода Т. имеет 2п
линейно независимых решений, образующих фундаментальную систему, причем
каждое из этих решений имеет вид Xi{t) - exp(Ail), где Фpt) -
периодическая функция с периодом Т. Экспоненты ехр(Аг1) называют ляпунов-
скими экспонентами, числа А; - ляпуновскими характеристическими
показателями, а Ф*(1) - функциями Флоке.
Поясним теорему Флоке для системы второго порядка, т. е. для уравнения
(11.4).
Выберем произвольно два частных, линейно независимых решения Xi(t) и
Х2(?) уравнения (11.4). В силу периодичности коэффициента в уравнении
(11.4) ui2(t + T) = u2(t), а функции Х\(t+T) и x2(t + T) тоже будут
решениями уравнения (11.4). Как и всякое решение, они могут быть выражены
через фундаментальную систему следующим образом:
х\ (t + Т) = aixi(t) + Pix2(t), x2(t + T) = a2xi(t) + p2x2(t).
Решения xi и x2 всегда можно выбрать так. чтобы выполнялось условие Pi =
а2 = 0 (предлагаем читателям доказать это положение самостоятельно). Это
значит, что
xi(t + Т) = siXi(t), x2(t + Т) = s2x2(t). (11-5)
т. е. решение воспроизводит себя через период с точностью до постоянного
множителя Si(s2). Очевидно, что x,i +oj2(t)xi = 0 и х2 +ui2(t)x2 = = 0.
Умножая первое из этих тождеств на х2. а второе на .ti и вычитая
полученные соотношения друг из друга, получаем
хгх2 - x2xi = ~(х1х2 - х2хх) = 0, т. е. ххх2 - x2xx = const.
Следовательно,
ii(t)x2(t) - x2(t)xi (t) = xx(t + T)x2 (t + Г) - x2(t + T)xi(t + T),
220
Глава 11
что с учетом (11.5) дает уравнение связи между sj и s2 в виде
SlS2 = 1. (11-6)
Введем новые постоянные А; (они, вообще говоря, комплексны) посредством
соотношения s; = ехр(А;Т) (г = 1, 2). Тогда из (11.6) следует, что Ai = -
А2 = А. Введем также новую функцию Ф,(?) - Xi(t) ехр(-Xtf). Легко
убедиться, что если выполняются условия (11.5), то функция Фi(t)
периодическая с периодом Т. Следовательно, решения Х\(t) и x2(t) имеют
вид
xi(t) = $i(^)exp(Ai Г), x2(t) = $2(t)exp(\2t),
а общее решение (11.4) можно записать как
x(t) = CieAt$i(i) + c2e~At$2(i). (П-7)
Если Re А ф 0, то одно из слагаемых правой части в (11.7) будет расти со
временем и x(t) будет нарастать - в системе возможна неустойчивость.
Явление, заключающееся в нарастании колебании в параметрических системах,
называют параметрическим резонансом [2]. Для ответа на вопрос о том, при
каких условиях возникает параметрический резонанс, конкретизируем вид
функции w2(t) в уравнении (11.4).
Пусть uj2(t) = Wg(l - nbcosuipt), что превращает уравнение (11.4) в
уравнение Матье:
х + Wq(1 - nbcos Lopt)x = 0. (11-8)
К уравнению Матье. как мы видели, приводят и одномерные задачи
распространения волн. Применительно к задачам распространения волн в
трехмерных периодических структурах существует обобщение теоремы Флоке
(на трехмерный случай); оно носит название теоремы Блоха [1, 3].
При произвольных fj, решение уравнения (11.8) выражается через
специальные функции - функции Матье, которые протабулированы и свойства
которых хорошо известны. Попытаемся здесь решить задачу в простых
функциях, считая, что цЬ -С 1. При р, = 0 решение уравнения (11.8)
известно. Есть надежда, что и при значении ц, не равном нулю, по малом,
решение будет мало отличаться от известного, а поправки можно будет
вычислить рекуррентным способом, т. е. каждое последующее приближение
будет определяться предыдущим. Итак.
11.2. Параметрический резонанс
221
воспользуемся для решения уравнения (11.8) теорией возмущения [21], в
