Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
групповой скорости можно обобщить на многомерные системы. Не вдаваясь в
детали работ [3], [8], выпишем основные соотношения. Пусть в
модулированной волне и(х, ?)ехр[г'Ф(х, t)] вектор х имеет координаты xi,
х2 и хз. Определим
f = "- g = i = 1'2-3' (8'28)
где ki, k2 и кз - компоненты волнового вектора. Дисперсионное соотношение
имеет вид ш = oj{ki, к2, к3) или
<8-29>
Дифференцируя (8.29) по Х{ с учетом определений (8.28), получаем
трехмерный аналог (8.11) в следующей форме:
§ + с,|ио, (8.3")
где Uj = дш/dkj - компоненты вектора групповой скорости. Если dxj/dt =
Uj, то компоненты kj волнового вектора постоянны, а движение с постоянной
скоростью Uj, имеет место вдоль прямой Xj - Ujt = const. В работе [3]
доказано, что для синусоидальных волн групповая скорость Uj = дш/dkj
совпадает в любых однородных анизотропных системах со скоростью
распространения энергии (для внутренних волн мы это видели).
Более сложным является случай распространения вь.*я в неоднородной
нестационарной диспергирующей среде, когда ш = w(k, х, t). В этих случаях
групповая скорость выступает как так называемая лучевая скорость. Мы не
касаемся этого и более сложных вопросов, отсылая читателя к работам [3,
8, 11].
Глава 9
Энергия и импульс волн
9.1. Уравнение переноса усредненной плотности энергии для волнового
пакета в диспергирующей среде
Волны, как и всякий движущийся объект, переносят энергию в процессе
своего распространения. Энергия эта самая разная в зависимости от природы
волн: весьма значительная - у морских волн, перемещающих при шторме
огромные каменные глыбы, сравнительно небольшая - у электромагнитных
световых волн, доходящих до Земли от Солнца (мощность на 1 м2 поверхности
около 1 кВт) и т. п. Подобно движущимся частицам, волны обладают
импульсом. Хотя существование импульса у волны не может вызвать сомнений,
проявляется он менее заметно, чем энергия волны: например, световое
давление потока излучения Солнца на орбите Земли составляет очень малую
величину - всего р = 4,5 ¦ 10-7 Па [1, 2].
Мы в этой главе получим уравнения, описывающие перенос энергии и импульса
волн в диспергирующих средах [3-6].
При выводе уравнения переноса энергии поступим, как и при выводе
уравнения эволюции волнового вектора (см. гл. 8): откажемся от
использования интеграла Фурье. Будем исходить из уравнения Клейна-Гордона
с постоянными коэффициентами [3]:
utt - V2uxx + /32и = 0. (9.1)
Умножая обе части (9.1) на ut, получаем
§~t (|wt2 + \/32и2) - V2utuxx = 0. (9.2)
Прибавим к левой части получившегося уравнения (9.2) слагаемое V2uxuxt =
(|и*) и отнимем в точности такое же. Легко видеть,
что
П
V UtUXx V 'U'x'U'xt - V
9.1. Уравнение переноса усредненной плотности энергии
191
С учетом сделанных преобразований получаем уравнение, выражающее закон
сохранения энергии, в виде
I (Ь?++?2у2) + ?с{~у2ихщ)=°> (9-3)
где сумма ^и2 + t/V2u2 + ^д2и2 имеет смысл плотности энергии,
a - V2uxut - потока энергии.
Рассмотрим теперь группу волн (или, как часто говорят, волновой пакет),
медленно изменяющуюся в пространстве и во времени. Для такой группы волн
и ~ Re(Ae1'1') = а соз(Ф + ф), (9.4)
где а = |Л|, р = argA. Используя (9.4), вычисляем плотность энергии и
плотность потока энергии. Очевидно, что
и, ~ -iuia sin(4/ + <р) + at cos(4/ + ip) - <pta sin(4/ + <p),
тогда и2 /2 ~ ui2a2 sin2(4/+<^), поскольку из-за медленности изменения а
и р слагаемыми, содержащими at и pt, можно пренебречь. В тех же
приближениях легко вычислить остальные слагаемые, входящие в плотность
энергии, что окончательно дает
\u2t + \v2u2x + \/32и2 ~ Ьш2 + V2k2)a2 sin2($ + р) +
Z 1 1 1 (9.5)
+ |/32a2 cos2{$ + р),
где учтено, что <9Ф/<9? = ш, а 5Ф/дх = -к. Аналогично для плотности
потока энергии
V2uxut ~ V2ujka2 зт2(Ф + р). (9.6)
Если вместо (9.1) взять уравнение, которое содержит производные более
высокого порядка, то очевидно, что при их вычислении с учетом (9.4)
появятся дополнительные слагаемые, содержащие производные ш и к. Однако,
поскольку мы рассматриваем медленно изменяющийся волновой пакет, м и к
тоже медленно изменяются, и этими слагаемыми можно пренебречь. Рассмотрим
средние за период значения выражений (9.5) и (9.6). Это оправданно:
интересны заметные (средние) изменения щ, к и а, а не мелкие осцилляции и
их детали. Итак,
192
Глава 9
для средних значений плотности энергии и плотности потока энергии в
рамках сделанных допущений получаем
g = ^(cj2 + V2k2) + (9.7)
S = ±V2uka2. (9.8)
Из (9.1) следует дисперсионное уравнение задачи
со2 = р2 + V2k2. (9.9)
С учетом (9.9) соотношения (9.7) и (9.8) принимают следующий
окончательный вид:
g=^(p2 +V2k2), (9.10)
S=±V2Luka2. (9.11)
По определению vrp = dui/dk, поэтому из (9.9) получаем
vrp = -- V_-J= .... (9.12)
у/vWTW
Из соотношений (9.10)-(9.12), используя (9.9), находим, что
vTp = g/S. (9.13)
Общность этого выражения уже отмечалась в гл. 8.
Возвращаясь к (9.3) и основываясь на (9.13), можно предположить, что
закон сохранения средней плотности энергии выражается дифференциальным
