Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
уравнением
f+ (9.14)
В [3] показано, что это уравнение соответствует ситуации, когда полная
энергия между двумя прямыми х - vrpij2l = const на плоскости xt
остается постоянной. Для доказательства рассмотрим выражение для энергии
9.2. Плотность энергии электромагнитного поля в среде с дисперсией 193
где Х\ и Х2 - точки, которые движутся со скоростями vrp(ki) и vrp(k2).
Очевидно, что
~ x2(t)
= J ^dt Л Vtp(^2^2 ~~ urp(&i)<§i5 (9.16)
XI (t)
причем эта величина, как следует из (9.14), равна нулю. Не менее
очевидно, что (9.16) в пределе при х2 - Xi -> 0 превращается в (9.14).
Выражение для усредненной плотности энергии можно представить в виде § =
F(k)a2. Подставим это выражение в (9.14); тогда
F(k)
да2 , д ( 2 \
dt + dx(Vrpa }
, 3F 2 (dk дк \ п
Но, как показано в гл. 8, dk/dt + vrpdk/dx = 0, поэтому
? + 1^=0-
Полученные соотношения типа (9.14) и (9.17) легко распространить на
многомерные задачи. Такое обобщение для уравнения Клейна-Гордона и
уравнения ии - V2V2u = (32V2utt приведено в [3]. Уравнение,
характеризующее перенос усредненной плотности энергии волновым пакетом в
средах с заданной дисперсией, имеет вид
Ж + IhTj = 0 или ж + щ [(ип>Ьа2] = °- (9-18)
Изложенные результаты оставляют чувство неудовлетворенности оттого, что
они получены для конкретного уравнения. Дж. Уизем показал [3]
справедливость "усредненного вариационного принципа" непосредственно для
функций а(х, t) и Ф(х, t), результатом применения которого является
уравнение (9.18).
9.2. Плотность энергии электромагнитного поля в среде с дисперсией
Известное выражение S = (с/47Г)[ЕН] для плотности потока электромагнитной
энергии справедливо и в среде с дисперсией [5, 6]. Из
194
Глава 9
уравнений Максвелла следует не менее известное уравнение
(9.19)
divS = i
47Г
"dD I о OB
где Е и D - напряженность и смещение электрического поля, Н и В -
напряженность и индукция магнитного поля.
Если дисперсий нет, т.е. проницаемости е и р - действительные постоянные
величины, то уравнение (9.19) выражает изменение плотности
электромагнитной энергии ё = (1/87г)(еЕ2 + //.Н2) в единице объема, т.е.
d&/dt + divS = 0. При наличии диссипации плотность энергии тепловых
потерь определяется мнимыми частями е и р:
Q = ^(Ime(E2) +Im/i(H2)), Ц + divS + Q = 0,
где угловые скобки означают усреднение по времени.
Найдем ё, следуя [5]. Рассмотрим узкий волновой пакет, состоящий из
монохроматических компонент с частотами вблизи некоторой и>о, т. е. узкий
пакет с шириной спектра Дш <С usq:
Е = Е0{t)eiuJ°\ ReE = | [E0{t)eiwoi + ,
Н = Н0(?)е*"0<, ReH = | [Н0(гК"°' + Щ{Ь)е-^°г]
(для D и В имеют место аналогичные выражения), где Е0(t) и H0(i) -
медленно изменяющиеся по сравнению с exp(iu>ot) функции времени.
Подставим выражение для действительных частей напряженностей Е, Н, а
также для D и В в (9.19), после чего усредним получившееся по периоду
2tt/uiq¦ Очевидно, что быстро меняющиеся слагаемые типа E0(9D0/9t)
ехр(2гшоО и Щ{дТ>о/dt) exp(-2iui0t) при усреднении исчезнут, а останутся
лишь слагаемые типа
М - 1
167Г
P,5D* ,
Е~дГ+Е Ж
(мы делаем все преобразования только с первым слагаемым в правой части
(9.19)). Представим производную dD/dt в виде /Е, где оператор / =
{d/dt)e. Что получится, если подействовать этим оператором на Е = Е0
exp(iuot)l Очевидно, что если Ео = const (поле чисто гармоническое), то
/Е = iu!0e(uiо)Е или /Е = /(w0)E, где f(ui) = Раз-
ложим функцию Eo(t) в интеграл Фурье, что соответствует представлению ее
группой монохроматических составляющих Е0ш exp[i(u> - LO0)t)
9.2. Плотность энергии электромагнитного поля в среде с дисперсией 195
с Е0ш = const:
Er
ОО
(t)~ j d(u> - w0).
Поскольку E0(t) - медленно изменяющаяся функция времени, то в интеграл
войдут лишь те составляющие, для которых Аш = \ш - о>о| ^ wo-Это
позволяет написать следующее соотношение:
/Е0ше"ш+Аы" = f(u0 + Аш)Е0ше^Шо+Аш" "
и /(w0)Е0шег(шо+л^' + Дш^^Е0шег'("о+л")4. ^'2°^
duiQ
Легко видеть, что
дЕ0
dt
ОО
J iAuE0uJeiAuJtd(ALu). (9.21)
Проинтегрируем (9.20) по Аси в пределах от -оо до +оо, что соответствует
обратному преобразованию Фурье. Используя (9.21), находим
ОО
/eiwot J Е0uJeiAuJt d{Auj)
= fMeiuot f E0u;eiAutd(Auj)- i~^eiuJot JiAcoE0u,eiAuJtd{Аш) =
iuj0t _ -df(uо) ЭЕр iuJnt
Опуская далее индекс 0 у и>, получаем
§ ="Ме+Х?'" <9'22>
Напомним, что е(ш) = Ree(w) + ilme(w) = е'(со) + к"(ш). Те области
частот, в которых е"{ш) малы по сравнению с е'(ш), называются областями
"прозрачности" среды (аналогично для магнитной проницаемости). В этих
областях можно положить е"{ш) = 0, так что Q = 0.
196
Глава 9
Учитывая, что теперь e(w) = е'(ш) = имеем следующее соотно-
шение для М:
Поскольку для магнитного поля все выкладки аналогичны, можем написать
выражение для усредненной плотности энергии
Укажем еще на один простой способ получения энергетических соотношений в
средах с временной и пространственной дисперсией, который основан на
использовании дисперсионного уравнения системы [7, 8]. Рассмотрим
