Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
резонанса), когда электромагнитная волна взаимодействует с электронами-
осцплляторами собственная частота которых равна LOq или и>с (причем
осцилляторные свойства проявляются при наличии высокочастотного поля) В
синхронных режимах, типичных для электронных СВЧ-приборов с длительным
взаимодействием, когда vo г" Уф, "работают" обе "электронные" волны и
имеет место так называемое индуцированное черенковское излучение.
Глава 11
Параметрические системы и параметрическая неустойчивость
11.1. Общие замечания
Параметрическими обычно называют системы, параметры которых изменяются во
времени и (или) в пространстве.
Простейшая механическая параметрическая система - математический маятник
с изменяющейся со временем длиной нити I = l(t) или с перемещающейся
точкой подвеса. Электрический аналог такой системы - колебательный контур
с изменяющейся со временем емкостью С = С (I). Математический анализ этих
параметрических систем приводит к обыкновенным дифференциальным
уравнениям, коэффициенты которых зависят от времени.
Очень часто встречаются в физике и технике задачи о распространении волн
в средах с периодически изменяющимися параметрами. Они возникают при
исследовании распространения волн в слоистых средах, движения электрона в
поле ионной решетки кристалла, прохождения света через среду, в которой
возбуждена звуковая волна и т.п. Параметры среды могут изменяться как во
времени, так и в пространстве. Если они изменяются синхронно во времени
во всех точках пространства или только в пространстве, то математически
анализ сводится к исследованию обыкновенных дифференциальных уравнений с
коэффициентами, зависящими от времени или координаты.
Будем различать два класса задач, соответствующих двум классам
параметрических систем.
1. Резонансные параметрические системы. К ним относятся системы, для
которых характерное время изменения параметров того же порядка, что и
характерное время изменения переменных в системе. Например, если частота
гармонического осциллятора, описываемого уравнением х + uj\x = 0, зависит
от времени [шо = wo(?)) и время тШо изменения параметра и>о того же
порядка, что и txap и 2-k/ljo, то такой осциллятор относится к классу
резонансных параметрических систем.
11.2. Параметрический резонанс
217
2. Нерезонансные параметрические системы. Им соответствует случай,
когда параметры изменяются очень быстро или очень медленно по сравнению с
характерным временем изменения переменных: гШо <g 1хар либо тио txap (к
этому классу мы относим и системы, в которых параметр изменяется
периодически и даже выполнены формальные условия резонанса nwriap =
тпшсоо, но числа п или m большие; случаю же, который мы называем
резонансным, соответствуют небольшие значения целых чисел п, тп).
Примером может служить движение электрона в атоме при наложении внешнего
высокочастотного поля.
В этой главе обсуждаются явления в резонансных параметрических системах и
системах с быстро изменяющимися параметрами. Эффектам, связанным с
медленным изменением параметров, посвящена следующая глава.
11.2. Параметрический резонанс. Теорема Флоке (Блоха). Уравнение Матье
Классический пример параметрического резонанса - раскачивание качелей.
Каждый знает, что легче всего раскачать качели, если приседать в момент
максимального их подъема и таким образом, смещая их центр масс два раза
за период, увеличивать эффективную длину подвеса. В качестве модели
качелей естественно использовать математический маятник, длина которого
изменяется по закону I = = /о[1 + н(а/1о) coswp?] (рнс. 11.1а), уравнение
движения имеет вид х + + (g'//o)[l + ц(а/1о) cosu>pt]~1x = 0. Если ца <С
10, то, обозначая g/lo через WQ, получаем известное уравнение Матье (см.
[1,2]):
х + Wg[l - fi(n/lo) coswpt]x = 0. (11-1)
Электрический аналог такого маятника, как уже говорилось, - колеба-
тельный контур с изменяющейся емкостью C(t) = Со[1 + g-pr cos wpt]
Со
(рис. 11.16) или С(х) - Со[1 ~ g(Ci/Co) cosqxx\ (рис. 11.1в). Емкость
можно изменять механически, скажем, с помощью мотора, сдвигая и раздвигая
пластины конденсатора. Чтобы амплитуда колебаний при этом нарастала,
нужно вводить в контур энергию, совершая работу против сил
электростатического поля конденсатора. Это означает, что раздвигать
пластины нужно, когда заряд на конденсаторе максимален, а сдвигать -
когда заряд на конденсаторе обращается в нуль. Соответствующее уравнение
колебаний имеет вид Lq + [1 /C(t)\q = 0,
218
Глава 11
где C(t) = Se/[4^rd{t)\ (S - площадь пластин конденсатора, е -
диэлектрическая проницаемость вещества, заполняющего конденсатор, d{t) -
переменное во времени расстояние между пластинами). Если d(t) = = do[l +
n(S/do) cosupt], то уравнение для колебаний заряда принимает вид
К тому же уравнению с точностью до замены t на х приводит анализ
распространения волн в среде с параметрами, периодически зависящими от
координаты. Одна из возможных реализации такой среды изображена на рис.
11.1в мы выбрали длинную линию с периодически изменяющейся вдоль ее длины
