Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
как составить дифференциальное уравнение, выражающее ту форму жидкой
массы, которую нужно было найти. Тогда сила, эквивалентная трем силам Q,
R, S, которые действуют совместно на точку Z, будет равна
Р = j/QQ + RR + SS
и будет иметь направление перпендикуляра к поверхности. Чтобы найти это
направление, нужно только взять YM = -и YN = -и построить
на этих отрезках прямоугольник YMPN ; его вершина Р даст положение точки
Р, в которой перпендикуляр ZP к поверхности встречает плоскость ВАС.
Сверх того, надо заметить, что для того, чтобы форма была возможна, силы
Q, R, S должны быть такими функциями координат х, у, z, чтобы уравнению
Q dx + R dy + S dz = О
можно было придать конечный вид.
VII. Известно, что уравнение, которое содержит только два переменных,
всегда возможно интегрировать, т. е. всегда существует такое конечное
уравнение между этими двумя переменными, которое, будучи
продифференцировано, даст данное дифференциальное уравнение, хотя очень
часто мы не в состоянии найти это, служащее интегралом, конечное
уравнение. Не так обстоит дело с дифференциальными уравнениями, которые
содержат три
СООБРАЖЕНИЯ ПО ПОВОДУ НЕКОТОРЫХ ОБЩИХ ЗАКОНОВ ПРИРОДЫ 61
переменных количества, как-то : х, у и z ; в ряде случаев совершенно
невозможно получить такое уравнение путем дифференцирования какого-то
конечного уравнения. Примером может служить уравнение
х dx + у dy + х dz = 0.
В самом деле, так как два первых члена xdx + ydy интегрируемы сами по
себе, то невозможно найти такой множитель, после умножения на который
уравнение стало бы интегрируемым.
Получены даже условия, при которых такое уравнение оказывается возможным
или невозможным. Клеро и Даламбер доказали, что уравнение вида
Qdx + Rdy + Sdz = О возможно только в том случае, если будет
п(дR OS'), d(QS эт (дQ 9fl'ln
ду) (. Эх dz) Uy дх)
В этом уравнении выражение означает производную функции R в
предположении, что только z является переменным, так что его дифференциал
dz уничтожается знаменателем dz. Подобным же образом значение as
-д- найдется в предположении,' что только у является переменным при
дифференцировании функции S, а чтобы найти значение дифференцируя S,
следует считать переменным только х; таким образом, выражения ar as as а
о _
~аГ' ~Эу~' ~дх ' и т' Д- "УДУТ содержать только конечные количества,
потому что знаменатели уничтожают дифференциалы в числителях. Итак,
всякий раз когда функции Q, R, S не обладают свойством, выражаемым этим
уравнением, уравнение
Qdx + Rdy + Sdz = О
будет невозможно, и в этих случаях жидкая масса никогда не сможет прийти
в состояние равновесия, как очень хорошо покзал Клеро в своем сочинении о
фигуре Земли.
VIII. Наиболее очевидный случай, для которого уравнение
Qdx + Rdy + Sdz = О
оказывается возможным, имеет место, если Q есть функция х, R - функция у
и S - функция 2, ибо тогда каждый член уравнения интегрируется в
отдельности. Итак, если на каждую частицу жидкой массы действуют три силы
Q, R и S по направлениям трех осей АВ, АС и AD, или трех координат х, у и
2 и если сила Q, действующая в направлении х, выражается какой-то
функцией х, сила R, действующая в направлении у - функцией у и сила S -
функцией 2, то вследствие интегрируемости дифференциала
Qdx + Rdy + Sdz = 0,
форма жидкой массы выразится следующим интегралом :
f Qdx+ §Rdy + §Sdz = A,
где А обозначает постоянную величину, определяемую количеством жидкости.
Следовательно, в этом случае жидкая масса будет приведена к состоя-
62
Л. ЭЙЛЕР
нию равновесия, и в каждой точке поверхности значение выражения
будет одно и то же. Если же мы будем рассматривать вообще природу
равновесия, мы легко заметим, что она требует повсюду равенства действия
сил, хотя бы мы заранее и не знали, как следует оценить это действие сил.
Но видя в указанном случае, что количество
остается повсюду одним и тем же, мы отсюда заключим с большой
вероятностью, что именно это выражение представляет количество действия
сил, которое при равновесии повсюду должно быть одним и тем же. Итак,
количество действия сил Q, R и S, которые действуют на точку Z таким
образом, как я только что предположил, будет равно
это выражение совершенно согласно с принципами Мопертюи, всю силу и
важность которых я с большей ясностью покажу в следующих рассуждениях.
IX. Задача IV. Жидкая масса притягивается к нескольким неподвижным
центрам С, С', С" силами, пропорциональными некоторым функциям
расстояний. Найти форму, которую примет эта жидкая масса.
Решение. Пусть будет Z - какая-либо точка поверхности данной жидкой массы
(рис. 2); расстояния этой точки от неподвижных центров С, С', С" пусть
будут: CZ = v, C'Z - if, C"Z = v", а силы, которыми эта
С', С"; эти плоскости пересекаются перпендикулярной к ним прямой ZY в
точках Y, Y', Y", и в этих плоскостях мы проведем прямые СХ, С'Х', С"Х",
параллельные ZQ и перпендикулярные к ним прямые YX, Y'X', Y"X", которые
будут параллельный/?. Теперь мы будем иметь для каждого центра С, С', С"
