Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 32

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 461 >> Следующая

три координаты, которые мы обозначим так: для центра С ~. СХ = х, XY = у
и YZ = z ; для центра С': С'Х' - х', X'Y' = у', Y'Z' =2'; и для центра С"
: С"Х" = х", X"Y" = у" и Y"Z" = 2". Для этих координат мы прежде всего
получим такие уравнения :
J Q dx + J R dy + J S dz
J Qdx + J Rdy + J S dz
J Qdx+ j Rdy+ J Sdz;
z рам, пусть будут какими-то функциями
точка Z притягивается к этим цент-
Wt V, V' и;У" этих расстояний. Сила V, которая тянет в направлении ZC,
есть некоторая функция v, сила V' в на-
д правлении ZC' -функция v' и сила V" в направлении ZC" - функция v".
После этого выберем, как и раньше, три взаимно перпендикулярные оси и
проведем через точку Z три прямые ZQ, ZR, ZY, параллельные этим осям. По
этим прямым мы разложим силы V, V', V", которые действуют на точку Z. Для
этого достаточно представить себе плоскости, параллельные плоскости QZR,
которые проходят через точки С,
Рис. 2.
VV = XX + уу + ZZ ,
и
v'v' = х'х' + у'у' + Z'Z' v"v" = х"х" 4- у"у" + z"z".
СООБРАЖЕНИЯ ПО ПОВОДУ НЕКОТОРЫХ ОБЩИХ ЗАКОНОВ ПРИРОДЫ
63
Так как переменные х, х', х" отличаются только постоянными количествами,
то их дифференциалы будут равны между собой, откуда мы будем иметь dx =
dx' = dx" ; на том же основании dy = dy' = dy" и dz = dz' = dz".
Если теперь силу ZC = V разложить по направлениям ZQ, ZR и ZY, то
получатся следующие три силы:
Vx ZR = Vy_ V f ZY = -, V 7
из силы ZC' получатся силы :
? - ZR = V'y' v' ' ZY = V'f' V
и из силы ZC" - силы
ZQ - VJ ' ZR = vy > V"?" ZY = V
В результате совместного действия этих трех сил на точку Z будет
действовать :
no направлению ZQ сила - + V V'X' v' + Vx" v"
no направлению ZR сила vy + V vy v' + vy' v"
no направлению ZY сила Vz -+ ¦ V v' + V"z" v"
Поскольку эти силы действуют в направлениях, противоположных тем, которые
мы придали силам Q, R и S в предыдущей задаче, мы получим :
Vx Vx' Vx"
V v' if
Vy V'y' Vy"
V v' v"
Vz V'z' V"z"
V v' v"
Но форма поверхности этой жидкой массы будет выражаться таким уравнением
:
Qdx + Rdy + Sdz = 0.
Подставляя сюда найденные выражения для Q, R, S, мы получим после
изменения знаков следующее уравнение :
Vx dx V'х'dx' V"x" dx" Vydy V'y'dy' V'y" dy" .
V v' v" V "' v"
Vzdz V'z' dz' V"/' dz" p.
v v' if
Прежние формулы, которые выражают расстояния v, v', v", дают: x dx -f у
dy -f z dz = v dv,
x' dx' -f y' dy' -f z' dz' = v' dv',
x"dx" + y"dy" + z"dz" = v"dv".
Следовательно, форма жидкой массы будет выражаться уравнением
Vdv+ V'dV + V"dv" = 0, в котором каждый член интегрируем сам по себе, а
поэтому мы будем иметь
64
Л. ЭЙЛЕР
для искомой формы следующий интеграл :
j У dv + J I/' dv' +'j V" dv" = const,
что и требовалось найти.
X. То же самое уравнение может быть найдено независимо от расположения
трех осей, которое является произвольным и на конечном уравнении не
отражается. Нужно только рассматривать бесконечно малый линейный элемент
Zz, который мы берем произвольным образом от точки Z на поверхности
жидкой массы. Ясно, что для того, чтобы точка Z могла быть в равновесии,
или оставаться в покое, необходимо, чтобы силы, которые действуют на
точку Z по направлению Zz, исчезали после того, как действующие на нее
силы V, V', V" разложены на составляющие по направлению Zz и по
направлению, перпендикулярному к нему. Если бы силы вдоль Zz не
уничтожались взаимно, ничто не препятствовало бы тому, чтобы точка Z
двигалась фактически по этому направлению, а следовательно, жидкая масса
не была бы в равновесии. Силы, которые получаются при этом разложении в
направлении элемента Zz, называют касательными; эти-то касательные силы и
должны взаимно уничтожаться, или их сумма должна быть равна нулю. Чтобы
найти эти касательные силы, я провожу через точку z к прямым CZ, CZ', CZ"
перпендикуляры zt, zt', zt"; полагая Zz = ds, мы будем иметь
Zt = - dv, zr = -d*, Zt" = - dv".
Подобие элементарных треугольников Zzt, Zzt', Zzt" треугольникам, которые
получают, опуская перпендикуляры из точек С, С', С" на касательную, или
на продолжение элемента Zz, дает касательные силы, получающиеся от
разложения каждой из сил V, V', V", а именно, от разложения силы V мы
V dv ...
получим касательную силу, равную ^-, сила V даст касательную силу
V' dv' V" dt/'
j~s-, сила V" - касательную силу ^-. Так как сумма касательных сил
должна быть равна нулю, то мы получим для формы жидкой массы уравнение
V dv V' dv' V" dv" _ ds ds ds ~ '
или же
Vdv+ V'dv' + V" dv" = 0, интегралом которого будет уравнение
J Vdv + J V dv' + J V" dv" = С,
а это как раз то уравнение, к которому нас привело предыдущее решение.
XI. Итак, только что рассмотренная жидкая масса, находящаяся под
действием сил V, V', V", придет в состояние равновесия, а форма, которую
она примет при этом, будет обладать тем свойством, что для каждой точки Z
поверхности значение выражения
J Vdv + J V'dv' + J V"dv"
будет повсюду одно и то же. Итак, вследствие того, что состояние
равновесия требует со всех сторон равного действия, прежде всего ясно,
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed