Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
что природа во всех своих творениях употребляет наименьшее возможное
количество действия, является общепризнанным правилом ; но до сих пор в
большинстве случаев было в высшей степени трудно точно определить это
количество действия, об экономии которого так заботится природа. Но как
только
СООБРАЖЕНИЯ по ПОВОДУ НЕКОТОРЫХ ОБЩИХ ЗАКОНОВ ПРИРОДЫ
57
мы образуем понятие, несколько отличающееся от понятия действия сил,
которое Мопертюи так удачно открыл для изучавшегося им случая равновесия,
сейчас же будет устранено большинство других трудностей, которые, по-
видимому, связаны с рядом разнообразных случаев, и мы будем вынуждены
признать, что это понятие может быть приложено повсюду как в механике,
так и вообще в физике. Но если бы даже кто-либо не одобрил доказательств,
при помощи которых я применяю это понятие к ряду эффектов, производимых
теми или иными силами, все же он был бы вынужден признать.
основательность этого понятия благодаря многочисленным случаям, которые
могут быть проверены при помощи обычных принципов механики.
III. Главным предметом исследований Мопертюи, при открытии им общего
закона покоя, в "Memoires de l'Academie royale des sciences de Paris",
1740, была форма, которую должна принять жидкая масса, все частицы
которой находятся под действием каких-либо сил. Я также буду
рассматривать жидкую массу, все частицы которой притягиваются к
неподвижным центрам, число которых может,быть каким угодно, силами,
пропорциональными некоторым функциям расстояний от этих центров ; прежде
всего я займусь отысканием формы, которую должна принять эта жидкая масса
для того, чтобы она была в покое, или в равновесии. Затем я постараюсь
найти, что в этой форме равновесия будет иметь максимум или минимум, для
того чтобы быть в состоянии определить, что следует понимать под
наименованием количества действия приложенных сил; в заключение путем
некоторых рассуждений я дам почувствовать первостепенную важность этого
понятия во всех изысканиях, относящихся к эффектам, производимым какими-
либо силами.
Прежде всего очевидно, что для того, чтобы такая жидкая масса была в
равновесии, необходимо, чтобы среднее направление сил, действующих на
каждую частицу, находящуюся на поверхности, было перпендикулярно к
поверхности ; в самом деле, если бы среднее направление сил было наклонно
к поверхности, частица, которая находится под действием этих сил, пришла
бы в движение в направлении проекции этой наклонной на касательную
плоскость, а следовательно, масса никак не была бы в равновесии. Чтобы
подойти к этому исследованию, я начну с общего определения положения
прямой, перпендикулярной к какой-либо поверхности.
IV. 3 а д а ч а т. Дана некоторая поверхность, на которой находится точка
Z. Найти положение прямой ZP, перпендикулярной к этой поверхности в точке
Z.
Решение. Чтобы определить вид этой поверхности, я выбираю произвольно три
оси АВ, АС и AD (рис. 1), перпендикулярные между собой ; из них пусть АВ
и АС лежат в плоскости чертежа, а третья ось AD - перпендикулярна к ней.
Из какой-либо точки Z поверхности я опускаю перпендикуляр ZY на плоскость
ВАС, а из точки Y-перпендикуляр YX на ось АВ, так что положение точки Z
будет определяться тремя координатами АХ, XY и YZ, которые я назову АХ =
х, XY = у и YZ = 2. Теперь, после того как вид поверхности выражен
некоторым уравнением между этими тремя координатами х, у, z, мне остается
только рассмотреть дифференциал
X dx + Y dy + Z dz = 0,
58
Л. ЭЙЛЕР
где X, Y, Z обозначают некоторые функции координат х, у, z, которые могут
быть найдены дифференцированием конечного уравнения поверхности. Теперь я
рассматриваю прежде всего фигуру EZ, которая получается при пересечении
данной поверхности плоскостью IYZ, параллельной плоскости BAD. Вид этой
кривой EZ будет выражен данным уравнением, если положить XY = у
постоянной, а следовательно, ее дифференциал dy = О, так что для этой
кривой EZ мы будем иметь уравнение
Xdx + Zdz = 0,
связывающее две координаты IY = х и YZ = 2. Пусть прямая ZM будет
перпендикулярна к этому сечению EZ; тогда известно, что субнормаль
YМ будет равняться г -; отсюда, так как мы будем иметь YM =
= - Щ-. Проведем на плоскости ВАС, к которой секущая плоскость IYZ
перпендикулярна, через точку М прямую МР, перпендикулярную к ГМ; ясно,
что все прямые, проведенные через точку Z и пересекающие эту прямую МР,
также будут перпендикулярны к сечению EZ. Следовательно, среди этих
прямых будет и та прямая ZP, которая перпендикулярна не только к сечению
EZ, но также и к самой данной поверхности. Чтобы найти этот искомый
перпендикуляр, я подобным же образом пересекаю данную поверхность
плоскостью XYZ, параллельной плоскости CAD ; предположим, что FZ -
полученное сечение; его вид будет определяться общим уравнением, в
котором АХ = х положено постоянной величиной, а следовательно, dx = 0.
Тогда для сечения FZ получим уравнение
Ydy + Zdz = О,
связывающее координаты XY - у и YZ = z. Проведем также и к этому сечению
