Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
или Упругими.
Мы выведем эти Законы из единственного Принципа, и из того же самого
Принципа мы выведем Законы Покоя Тел.
Общий Принцип
Когда в природе происходит некоторое изменение, Количество Действия,
необходимое для этого изменения, является наименьшим возможным.
Количество Действия есть произведение Массы Тел на их скорость и на
расстояние, которое они пробегают. Когда Тело перемещается из одного
места в другое, Действие тем больше, чем больше Масса, чем быстрее
скорость и чем длиннее расстояние, которое оно проходит.
Проблема I Найти Законы Движения Твердых Тел
Пусть два твердых Тела, Массы которых равны А и В, движутся в одну и ту
же сторону со скоростями а и Ь, но А движется быстрее, чем В, так что А
догоняет В и ударяет его. Пусть общая скорость обоих тел после удара
равна х < а и > Ь. Изменение, совершившееся во Вселенной, состоит в том,
что тело А, которое двигалось со скоростью а, и за некоторое время
пробегало пространство, равное а, движется уже только со скоростью х и
пробегает только пространство, равное х. Тело В, которое двигалось со
скоростью b и пробегало только пространство, равное Ь, движется теперь со
скоростью х и пробегает пространство, равное х.
Это изменение является, следовательно, таким же, какое было бы, если бы,
пока тело А двигалось со скоростью а и пробегало пространство а, оно
увлекалось бы назад нематериальной плоскостью, движущейся со скоростью а-
х, на расстояние а - х; и пока тело В двигалось бы со скоростью b и
пробегало пространство Ь, оно увлекалось бы вперед нематериальной
плоскостью, движущейся со скоростью х - Ь, на расстояние х - Ь.
Итак, если тела А и В движутся с собственными скоростями на
этих
подвижных плоскостях или находятся на них в покое, а движение этих
нагруженных плоскостей является таким же, то Количества Действия,
произведенные в Природе, будут равны А(а-х)2 и В(х - Ь)2, сумма которых
должна быть наименьшей возможной. Следовательно, им^ем
Ааа - 2Аах + Ахх + Вхх - 2 Bbx + Bbb - Minimum
или
- 2 Аа dx + 2 Ах dx + 2Вх dx - 2Bb dx = 0, откуда для общей скорости
получаем
Аа |- ВЬ
X = Л п .
В том случае, когда оба тела движутся в одну и ту же сторону, количество
уничтоженного движения и произведенное количество движения равны ; и
полное количество движения после удара остается таким же, каким оно было
до него.
54
П. МОПЕРТЮИ
Легко применить то же самое рассуждение к случаю, когда тела движутся
навстречу друг другу; здесь достаточно рассматривать b как отрицательную
скорость относительно а ; и общая скорость будет
Аа - вь Х А + в •
Если тело встречает непоколебимое препятствие, можно рассматривать это
препятствие как тело с бесконечной Массой, находящейся в покое, Если,
следовательно, В бесконечно, то скорость х = О.
Посмотрим теперь, что происходит, когда Тела Упруги. Тела, о которых мы
будем сейчас говорить, являются Телами, имеющими совершенную Упругость.
Проблема II Найти Законы Движения Упругих Тел
Пусть два Упругих Тела, Массы которых равны А и В, движутся в одну и ту
же сторону со скоростями а и Ь, но А движется быстрее, чем В, так что оно
догонит В и толкнет его; пусть а и Р - скорости тел после удара; сумма
или разность этих скоростей после удара остается той же, какой она была
до него.
Изменение, произведенное во Вселенной, состоит в том, что тело А, которое
двигалось со скоростью а и которое за некоторое время пробегало
пространство, равное а, движется уже только со скоростью а и пробегает
только пространство а; тело В, которое двигалось только со скоростью b и
пробегало пространство, равное Ь, движется со скоростью Р и пробегает
пространство р.
Это изменение является, следовательно, таким же, какое произошло бы, если
бы пока тело А двигалось со скоростью а и пробегало пространство, равное
а, оно увлекалось бы назад нематериальной плоскостью, двигающейся со
скоростью а - а, на расстояние, равное а -а; и пока тело В двигалось бы
со скоростью b и пробегало пространство Ь, оно увлекалось бы вперед
нематериальной плоскостью, двигающейся со скоростью Р - Ь, на расстояние
Р - Ь.
Итак, если тела А и В движутся с собственными скоростями на подвижных
плоскостях или, если они находятся на них в покое, а движение этих
нагруженных плоскостей является таким же, то Количества Действия,
произведенные в Природе, будут равны А (а - а)2 и B(b - Р)2, сумма
которых должна быть наименьшей возможной. Следовательно, имеем
Ааа - 2Ааа - Ааа + ВРР - 2 bbp + Bbb = Minimum
или
- 2 Аа da + 2Аа da + 2 Bp dp -2Bbdp = 0.
Но для Упругих Тел относительная скорость после удара остается той же
самой, как и до него, поэтому имеем р - а - а - b или Р - а + а - b и dP
= da, что после подстановки в предыдущее уравнение дает для скоростей
Аа - Ва + 2 Bb D 2 Аа - АЬ + ВЬ
" = Л + 6----------- И Р = ATS •
Если тела движутся навстречу друг другу, легко применить то же самое
рассуждение: достаточно при этом рассматривать Ъ как отрицательную
ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И ПОКОЯ, ВЫВЕДЕННЫЕ ИЗ МЕТАФИЗИЧЕСКОГО ПРИНЦИПА 55
