Реликтовый фон, относительность, динамика, спин - Пилепских Н.
ISBN 978-3-659-23496-5
Скачать (прямая ссылка):
а) пренебрежем влиянием движения частицы на поле, в котором она
движется, т.е. «полевая» функция U зависит только от координаты
пространства-времени положения частицы U = U (x);
б) из возможных тензорных размерностей полей для простоты, что
окажется вполне достаточным для достижения цели настоящей работы, ограничимся простейшим вариантом: будем полагать «полевую»
функцию U = U (x) 4-скаляром;
в) предположим, что сила f зависит от точки пространства-времени только через полевую функцию U, другими словами - пространство-время однородно;
г) 4-векторная функция f(p,a,U(x)) такова, что она может быть представлена в виде формального ряда по возрастающим степеням ее аргументов p, ?, U, причем оператор ? всегда входит только вместе с полевой функцией U(x) и стоит слева от нее;
д) предположим, что теория линейна относительно «величины» поля U -сила f - линейная функция от полевой функции;
е) имея ввиду опыт полевого подхода к электромагнетизму и гравитации, следует предположить, что сила f зависит не от самой полевой функции U (xh а только от ее производных.
С учетом сказанного, формальное разложение 4-вектора сила f по степеням p и ? в окрестности нуля запишется в виде
78
f ((• D,U ) = ? /lm {lm} •
(5a)
(56)
l ,m
{lm} = p'amU(x),
где fm - пока неопределенные вещественные константы; l, m = 1, 2, 3....
Из вида (5) следует, что не при всех значениях l, m комбинации plamU, во-первых, являются 4-векторами, и, во-вторых, остается открытым вопрос об ортогональности 4-вектора, заданного в такой форме, 4-вектору масса-импульс частицы p.
Определим в разложении (5) те члены, которые являются 4-векторами, ортогональными p, пространственная часть которых имеет «правильный» нерелятивистский предел.
Чтобы избежать сложностей с определением векторного произведения векторов в 4-мерном пространстве [3], смешанного произведения в псевдоевклидовом пространстве [4, с. 69], упростить анализ
трансформационных свойств выражений вида (56), дальнейшее изложение удобно осуществить в терминах геометрической алгебры [5-7], естественных для рассматриваемой задачи.
Соответствующий язык таков.
В качестве базиса 4-хмерного псевдоевклидова пространства выбираются {ум} - матрицы Дирака с известными свойствами у,у,+у,у,= 0, ц, v = 0,1, 2,3,
у =-Y =-Y- = -y = 1v / = Yv y =-Y y = У2 • y =-Y.
Четырехмерный вектор a в этом базисе можно выразить или через контравариантные {ам}, или через ковариантные компоненты a0 = а0, а1 = -а1, а2 = -а2, а3 = -а3, Т.е. a = ацуц = avyv .
Для двух 4-векторов а и b вводится «геометрическое» произведение векторов ab = aMyMbvyv, где справа обычное умножение чисел ам, bv и матричное умножение 4x4 матриц Дирака. Кроме того, для 4-векторов а и b, через введенное геометрическое произведение векторов, определяются еще два произведения: внутреннее произведение а ¦ b = (ab + ba)/2 - аналог скалярного, и внешнее произведение а л b = (ab - ba) / 2 - аналог векторного произведения векторов. Если результатом внутреннего произведения является 4-скаляр, то результатом внешнего произведения является бивектор - объект, напоминающий 4-вектор, но отличающийся от него трансформационными свойствами. Здесь (¦) и (л) обозначают операции внутреннего и внешнего умножения двух векторов соответственно. Очевидно, ab = а ¦ b + а л b, т.е. геометрическое произведение двух векторов равно сумме скаляра и бивектора.
Кроме того, необходимо вести 4-вектор оператор дифференцирования
? = уцдц, обобщающий трехмерный «оператор набла», где = Э/ax",
x = (x° = c0t, x1 = x, x2 = y, x3 = z). И, конечно, и2 = Э;2 -3J -Э2 -Э2.
79
В этих терминах, в частности, 4-вектор масса-импульс частицы имеет вид p = pY„, а некоторое 4-векторное поле ?(x) запишется ?(x) = ?v(x)yv, где ?v(x)
- скалярные функции точки пространства-времени.
В терминах геометрической алгебры релятивистское обобщение второго закона Ньютона, с учетом изложенного выше, имеет обычный вид
dr=f (, ? ,u (x)) (6)
с тем отличием, что базисом пространства-времени являются матрицы Дирака, а уравнение (6) не векторное, как (2), а матричное.
Вернемся к вопросу о том, какие из комбинаций p'umU пропорциональны 4-векторам, которые ортогональны 4-вектору p, имея уже ввиду, что здесь и далее 4-векторы p, ? и 4-скаляр U - 4x4 матрицы - объекты геометрической алгебры.
Чтобы из 4-векторов p, ? и скаляра U получить 4-вектор, ортогональный 4-вектору p, учтем следующее.
Легко убедиться в том, что для произвольных 4-векторов a, b и произвольного бивектора B справедливо тождество a - (b - B) = (а л b) B. При a = b получается a (aB) = (a л a)- B = 0. Другими словами свертка (внутреннее произведение) (a-B) произвольного вектора a с произвольным бивектором B есть вектор (a-B), ортогональный вектору a. В частности, одним из сомножителей в бивекторе B может быть вектор a.
Следовательно, для выполнения условия ортогональности 4-вектораов масса-импульс p и сила f, 4-вектор сила f, с точностью до неопределенного постоянного множителя, должен быть равен свертке (внутреннему произведению) 4-вектора p с пока неизвестным бивектором (зависящим от p,
