Реликтовый фон, относительность, динамика, спин - Пилепских Н.
ISBN 978-3-659-23496-5
Скачать (прямая ссылка):
dт = — c0dt0 = —^c02dt2 + dr2 = dt^/l + v2/c^ , (7)
c0 c0
где промежуток времени dt и пространственный вектор dr в лабораторной системе отсчета соответствуют промежутку времени dt0 собственной системе отсчета частицы; множитель c-1 введен из соображений размерности.
69
То, что dr - 4-скаляр, следует из его определения (c02dt2 + dr2 - евклидов скалярный квадрат 4-вектора (c0dt, dr)) - это элемент собственного времени, пропорциональный элементу длины кривой.
Итак, «инвариантное» «время» - 4-скаляр dt - определено соотношением
(7), а значит, что dpjdr- 4-вектор.
Теперь о правой части соотношения (6).
Отметим следующие четыре факта, которые позволят однозначно определить вид 4-вектора силы f (x, p) .
Во-первых, если соотношение (6) описывает закон природы, то, следуя принципу относительности Пуанкаре, следует принять, что форма записи этого закона не должна зависеть от выбора инерциальной системы отсчета. Другими словами, из того, что левая часть соотношения (6) есть 4-вектор относительно гиперболических поворотов пространства-времени при переходе между инерциальными системами отсчета, то и правая часть f (x, p) должна обладать этим же трансформационным свойством, т.е. f (x,p) - также 4-вектор.
Во-вторых, так как для 4-вектора масса-импульс p любой частицы с массой покоя m0 в любой системе отсчета выполняется соотношение
P2 = mlcl (8)
- псевдоскалярный квадрат вектора равен константе, то, очевидно, производная
(8) по т дает
pf . 0 (9)
dr
- условие «ортогональности» 4-вектора массы-импульса частицы и 4-вектора его производной по натуральному параметру относительно метрики g=(+—).
Из (9) и (6) следует, что относительно метрики g «ортогональны» 4-вектор масса-импульс частицы и 4-вектор силы f (x, p), действующей на частицу.
В-третьих, пространственные компоненты уравнения (6), а значит и сила f (x,p), должны иметь правильный нерелятивистский предел в виде (5).
В-четвертых, дальнодействующих взаимодействий два. Следовательно, «нерелятивистской» асимптотикой для 4-силы f(x, p) будет или закон всемирного тяготения, или закона Кулона (о магнитном взаимодействии будет сказано отдельно).
Учет этих четырех фактов достаточен для того, чтобы определить явный вид 4-вектора силы f (x, p), и тем самым, завершить формулировку уравнений релятивистской динамики частицы (6).
Таким образом, построение релятивистской динамики для случая прямого межчастичного взаимодействия свелось к релятивистскому (4-мерному) обобщению закона всемирного тяготения и закона Кулона.
Точнее: нужно записать законы электростатического и гравитационного взаимодействия точечных зарядов и масс соответственно с учетом эффектов относительности, которые в «нерелятивистском» приближении сведутся к закону Кулона и закону всемирного тяготения соответственно.
70
8.3. Релятивистское обобщение закона Кулона и закона всемирного
тяготения
В работе 1846 г. В. Вебер, пытаясь согласовать гипотезу Г.Т. Фехнера (1845 г.) о природе носителей тока в проводнике с силой Ампера, пришел к выражению силы (сила Вебера) взаимодействия «частиц электричества»
проводников, зависящей от скоростей частиц [11, с. 371; 12; 13, гл. 6]. Эта работа, будучи попыткой связать в единое целое электростатику и электродинамику [12, с. 242], определила направление в электродинамике -прямое межчастичное взаимодействие.
Альтернативные законы взаимодействия движущихся заряженных частиц были предложены К. Гауссом (1835 г., опубликован 1867 г.), Б. Риманом (1861 г.), К. Нейманом (1868 г.), Р. Клаузиусом (1877 г.), В. Ритцем (1908 г.) [12,13]. Современная попытка построить электродинамику без электромагнитного поля вообще - теорию действия на расстоянии - была предпринята Д. Уиллером и Р. Фейнманом [14] (см. также обзор [15]).
Настоящая работа является одним из вариантов формулировки динамики частиц в терминах прямого межчастичного взаимодействия.
Релятивистское обобщение силы законов всемирного тяготения и Кулона введем следующим образом [16, с. 136].
Как известно, нерелятивистское выражение силы взаимодействия двух покоящихся масс m1 и m2 по закону всемирного тяготения имеет вид
„ mm r - r,
F = 7. 1 2.2i2 \, (10)
( - r ) Ir2 - r1|
где rj, r2 - векторы положения частиц относительно некоторой системы координат; у - гравитационная постоянная.
Закон Кулона получается из (10) изменением гравитационной постоянной у на кулоновскую постоянную к, а гравитационных зарядов m1 и m2 - на электрические заряды q1 и q2.
В обсуждаемом контексте в качестве пространственноподобного вектора релятивистского обобщения этих сил в инерциальной системе отсчета, определяемой заданием величин скоростей частиц, следует взять
;(а) j (a) r - r
fa = K(a) j j 2 ,r2 r‘ , (11)
(x2 - x ) |x2 - ^
где индекс a=y, к - определяет вид взаимодействия - гравитационное или кулоновское; K(Y) = у/c2 - для гравитационного и K(к} = -к/c'2 - для кулоновского взаимодействия; j1(“)j2“) - псевдоскалярное произведение 4-векторов массы-импульса (он же - 4-ток массы-импульса) j[ = m0ic0I(vi) для гравитационного взаимодействия или 4-векторов заряда-тока (он же - 4-ток заряд-ток) jk = q0ic0I( vi) для кулоновского взаимодействия; xt =(c0t, ri (Ti)) -
