Реликтовый фон, относительность, динамика, спин - Пилепских Н.
ISBN 978-3-659-23496-5
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, возникает логическая возможность варианта релятивистской теории, в которой представление группы псевдоевклидовых поворотов пространства-времени осуществляется не в виде преобразований Лоренца, а, например, в виде обычных гиперболических поворотов.
В работе [5] ранее установленные кинематические закономерности пространства-времени, по аналогии, распространены на кинематику частиц: введены четырехмерные объекты масса-импульс (заряд-ток), преобразующиеся как 4-векторы относительно группы псевдоевклидовых вращений, представленной через гиперболические функции. Оказывается, что данная аналогия - объединение массы и импульса (плотности заряда и плотности тока) частицы в один четырехкомпонентный вектор, также преобразующийся по представлению гиперболического вращения - является физически содержательной.
В данной работе формулируется релятивистская динамика бесструктурной частицы в евклидовом пространстве-времени. Преобразование
псевдоевклидового поворота представляется гиперболическими функциями. Рассматривается случай прямого межчастичного взаимодействия.
67
8.2. Релятивистская динамика бесструктурной массивной точечной
частицы
Исходя из требования принципа относительности Пуанкаре - сохранения вида выражения второго закона Ньютона в форме
юджорждор^дор^дор
d2x'1
m---— = ed" = ed‘, (1)
dt'2 V '
при условии, что преобразование координат и времени при переходе от
«нештрихованной» системы координат к «штрихованной» происходит в
соответствии с
ct'= ct cha-x sha, (2а)
x= x cha-ct sha, (26)
y’=У, (2b)
z = z, (2r)
М. Планк в 1906 г. получил уравнения релятивистской динамики материальной точки, обобщающие второй закон Ньютона, в виде [6, с. 84]
d I mdx'/dt |
= Х , (3)
dt [-у/ 1 - v2 j c
1 2
где m - масса частицы; v - модуль вектора скорости частицы; x = x, x = y,
x = z -проекции вектора положения частицы; t - время; c - скорость света; Х‘ (i = 1,2,3) - проекции вектора силы на оси координат; аргумент a
гиперболических функций в (2) выбран в виде
a = arcth (v/c). (4)
Там же была определена функция Лагранжа L = -mc2^1 -v2/c2 и уравнения движения в форме Гамильтона свободной частицы.
В 1909 г. уравнения (3) получены Г. Льюисом и Р. Толменом исходя из предположения сохранения импульса при упругих столкновениях шаров [6, с. 87].
Г. Минковский, в ставшим классикой докладе 1908 г. [7], предложил дополнить систему уравнений (3) четвертым уравнением, относящимся к временной координате пространства-времени. Введение понятия 4-вектора силы - силы Минковского - завершает формулировку релятивистской динамики материальной точки [8, с. 221].
Мотив настоящей работы в обсуждаемом контексте - 4-мерное обобщение постулата Ньютона [8, с. 13]
dp dt = F (r, V, t), (5)
на пространство-время - рассмотреть показанную выше логическую возможность построения релятивистской динамики при условии представления псевдоевклидовых «поворотов» в пространстве-времени не преобразованиями Лоренца как в парадигме СТО, а гиперболическими функциями (2) (a= v/c).
Обозначения в соотношении (5): движение материальной точки
происходит в трехмерном евклидовом пространстве, ее траектория задается
68
параметрической зависимостью r = r(t) или x‘ = x‘ (t), где i = 1,2,3; x‘ (t) -декартовы координаты - достаточно гладкие функции времени t; V - вектор скорости частицы; p = mV - вектор импульса частицы массы m; F - вектор силы, действующей на частицу.
Следуя принципу «бритва Оккама», обобщение второго закона Ньютона на четыре измерения осуществим простейшим из возможных способов, а именно, по аналогии с нерелятивистским случаем 3-векторное соотношение (5) заменим его 4-векторным аналогом
-Т = f(x p), (6)
dT
где p = m0c0(ch(v/c0),nvsh(v/c0)) - определенный в [5] 4-вектор масса-импульс частицы с массой покоя m0; c0 - пока неопределенная константа размерности скорость; v - модуль мгновенной скорости частицы в той инерциальной системе отсчета, в которой записано соотношение (6); nv - единичный вектор скорости в выбранной системе координат; т и f - подлежащие обсуждению эквиваленты t и F соотношения (5); x = (c0t,r) - 4-вектор положения частицы в пространстве времени.
Приведем соображения, которые позволят определить вид т и f. Сначала
- относительно т.
Левая часть (6) - частное, делимым которого является 4-вектор (разность двух 4-векторов) dp (размерность - импульс), а делителем dT (размерность -время), для простоты и определенности выражения (6), следует взять 4-скаляр, как обычно это - длина траектории [9].
Пусть траектория частицы в некоторой инерциальной системе отсчета евклидового пространства-времени x(т) = ((т),r(т)). Естественной системой координат в собственной для частицы системе отсчета будет подвижной репер -аналог репера Френе трехмерного евклидова пространства [9]. При этом ось времени 4-мерного евклидова пространства-времени естественно выбрать в направлении касательного к траектории вектора мгновенной скорости [10, с. 615; 3].
Тогда, интервал собственного времени dt0, с точностью до мультипликативной константы, определяет элемент длины траектории в 4мерном евклидовом пространстве-времени. В лабораторной системе отсчета (пространство-время евклидово) эта длина, измеренная в единицах - время, запишется в виде
