Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пилепских Н. -> "Реликтовый фон, относительность, динамика, спин " -> 38

Реликтовый фон, относительность, динамика, спин - Пилепских Н.

Пилепских Н. Реликтовый фон, относительность, динамика, спин — Москва, 2012. — 117 c.
ISBN 978-3-659-23496-5
Скачать (прямая ссылка): relektivniyfon2012.pdf
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 47 >> Следующая

Тогда, релятивистское уравнение движения частицы 2,
взаимодействующей с частицей 1 по закону Кулона или по закону всемирного тяготения запишется в виде
d]p2 = K j1j2 x2 - xi (1)
dт c0 (x2 — x, ) |x2 — x,|
Для определенности далее речь пойдет о гравитационном взаимодействии двух частиц.
10.2. Гравитационное взаимодействие частицы с точечным центром
Конкретизируем задачу следующим образом: пусть частица 1 находится в начале координат, системой отсчета является та, в которой покоится частица 1, тем самым задача сводится к движению одной (второй) частицы в поле
неподвижного центра. Тогда x,(t) = 0, v,(t) = 0, r = \fr2 = |r| = |x2| = |x2 - x,\,
85
v(t) = v2(t), m0 = m01 nr - трехмерный единичный вектор направления на вторую частицу из начала координат.
Пространственная «проекция» 4-векторного соотношения (1) запишется
c0 d{nv sh(i))=-Gm0ch(c:)^. (2)
Найдем первый интеграл (интеграл «энергии») уравнения (2). Для этого
_ v | d dt d 1 d
умножим обе части (2) скалярно на 2nv sh I — I и учтем, что — =--------=--------,
^ c0 ) dT dT dt T(t) dt
где точка над символом (т) означает производную по времени.
Тогда
d Lu 2 f V I! = ,.J V V 1 (nr • nv)
i(t) dt
Взятие в выражении (3) слева производной дает
^|sh2| -|| = - Gm02sh | -| ch | , (3)
1 . (nr, nv) (Л,
—v = ~Gm/ Г 2 . (4)
T(t) r2
Умножением обеих частей соотношения (4) на модуль вектора скорости v, а числителя и знаменателя правой части на модуль |r|, (4) сводится к виду
1 d / 2\ ^ (r,v)
I" ' = -Gm0^-TL. (5)
2-f(t) dt
Так как dI -_L | = (TiX), a -f(t) = ^|1+, то из (5) следует первый интеграл
- Gm0 = E, (6)
Gm0 r
где E - постоянная интегрирования - «энергия» единицы массы точечной частицы в гравитационном поле другой точечной частицы массы m0.
Существенно, что соотношение (6) является строгим следствием 4-мерного обобщение второго закона Ньютона (4-сила в форме Минковского), релятивистского обобщения закона всемирного тяготения (и/или закона Кулона) и евклидовой структуры пространства-времени.
Соотношение (6) имеет структуру, аналогичную структуре полной энергии нерелятивистской системы - сумме кинетической энергии свободной релятивистской частицы и потенциальной энергии взаимодействия. Именно такова логика обычного рассмотрения этой задачи [8, с. 117]. Любопытно, что в интеграле движения (6), в отличие от второго закона Ньютона (2), потенциальная энергия имеет точно такой же вид, как и в нерелятивистском случае.
Цель решения задачи - установление траектории движения частицы -достигается учетом того обстоятельства, что, по аналогии с нерелятивистским случаем, предполагается наличие у рассматриваемой механической системы еще одного интеграла движения - момента импульса частицы.
Закон сохранения момента импульса в нерелятивистской проблеме Кеплера
86
dv Gm r
(7)
вытекает из элементарного тождества
— [г xr] = [r xr] (8)
где точка над символом означает производную по времени.
Действительно, векторное умножение выражения (7) справа на вектор r, с
учетом (8), дает хr = d[vхr] = 0 или vхr = const - искомый закон сохранения.
По аналогии с нерелятивистским случаем векторное умножение соотношения (2) на r дает
sh Ш)хг=°, (9)
где, очевидно, — ф nv sh I —I, и оно, вроде бы сводится к производной по
dt \ c0 )
времени (см. (8)) только в первом порядке разложения гиперболического синуса по степеням. Однако, если (9) представить в виде
d ( v 1sh (—1] х r = 0,
dt I v I c0 ))
1 J v 1
взять производную от произведения вектора v на скаляр — sh I — I, умножить
v I c0 )
сумму почленно на вектор r, то получится
d (v )х r 1sh f—1 + d (1sh (—-)) v х r = 0. (10)
dt v ^ c0 ) dt у v ^ c0))
Если теперь в первом слагаемом полученного выражения учесть тождество
(8), то (10) сведется к -d-11shI v Ivхr I = 0, что дает интеграл движения момент
dt Iv I c0 J )
импульса в релятивистском случае в виде
1shI v I vхг = L = const. (11)
v ( cn I
Учитывая, что nr = (sin#cos^,sin#sin^,cos#), v2 = r2 + r2e2 + r2 sin2 вф2, v = 4v2 , a nv = v/v, TO
r
(n r, n v) = cos(nr, n v) = —.
v
Тогда модуль вектора момента импульса можно представить в виде
L = shjrsin(nr,nv) = sh^v^r^ 1 -^ = sh^v^—sjв2 + sin2 вф2 .
Если выбрать в качестве плоскости орбиты плоскость (x, y), т.е. положить в = П2 и в = 0, то модуль вектора момента импульса (единицы массы) примет вид
dt r r
87
L = — sh i^r2'!’, (12)
где константа c0 введена из соображений размерности и правильного нерелятивистского предела.
Таким образом, получены два первых интеграла - два нелинейных ОДУ первого порядка (6) и (12) относительно функций r(t) и <p{t), которые, в зависимости от начальных условий, и определяют траекторию релятивистского движения частицы в гравитационном поле точечного центра.
10.3. Смещение перигелия Меркурия
Цель настоящего раздела - оценить влияние релятивистских эффектов на движение частиц в рамках предлагаемого автором подхода на примере хорошо изученной задачи о смещении перигелия Меркурия.
Выбор такой иллюстрации определен тем, что эта задача на протяжении более чем полутора столетий, начиная еще с Вебера, Гаусса, Римана, Клаузиуса, обсуждалась в работах десятков исследователей, и о ней известно очень многое [1,10]. Автор далек от того, чтобы делать какие бы то ни было утверждения об этой задаче в контексте настоящей работы - это далеко выходит за рамки данного рассмотрения.
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 47 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed