Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
соображениях симметрии. Однако расчет интенсивности линий комбинационного
рассеяния потребовал бы иного подхода (см. книгу Плачека [55]).
§ 5. Рассеяние нейтронов1)
Теперь удобно рассмотреть рассеяние нейтронов в кристалле, так как,
несмотря на физические различия в механизме рассеяния, математическая
задача очень похожа на ту, которую мы только что рассматривали.
Мы можем предположить, что нейтроны взаимодействуют только с атомными
ядрами в кристалле. Их взаимодействие с электронами очень слабо, за
исключением того, что магнитный момент нейтрона взаимодействует с
магнитным полем электрона. В веществе, химически насыщенном, магнитные
поля отсутствуют. Даже в том случае, когда атомы имеют магнитные моменты,
последние будут ориентированы случайным образом и самое большее дадут
рассеяние только в виде непрерывного фона. Особый случай ферромагнитных
кристаллов будет рассмотрен позже.
Для рассеяния нейтронов атомным ядром отношение рассеянной и падающей
амплитуд описывается выражением, аналогичным
1) Более строгое количественное рассмотрение содержится в статье
Плачека [56].
90 ГЛ. 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЕТА С НЕПРОВОДЯЩИМИ КРИСТАЛЛАМИ
формуле (3.10):
ЛкЯ
(3.37)
где 5 - теперь "длина рассеяния", не зависящая от угла рассеяния и в
широких пределах - от частоты. Положение усложняется вследствие наличия у
нейтрона спина, который может иметь две ориентации; кроме того, ядро тоже
может обладать спином. Если это так, то при столкновении возможны два
различных процесса: а) компоненты обоих спинов в некотором направлении не
меняются, б) обе компоненты меняются. В последнем случае ядро уже не
находится в начальном состоянии, и поэтому процессы рассеяния различными
ядрами приводят к различным конечным состояниям всей системы и должны
рассматриваться как некогерентные. Для расчета диффракции мы включаем
поэтому в (3.37) только рассеяние без изменения спина. Все другие
процессы приведут лишь к возникновению некоторого непрерывного фона,
который будет складываться с рассеянной волной.
Длина рассеяния 5 в (3.37) будет зависеть также от начальной ориентации
ядерного и нейтронного спинов, и поэтому для разных ядер она различна.
Кроме того, для различных изотопов одного элемента длина рассеяния будет
различной. Мы будем поэтому считать, что 5 различно для различных ядер
даже в том случае, если они находятся в эквивалентных узлах решетки.
Для идеальной решетки вместо (3.12) мы получаем
Пусть Sj есть среднее значение S3n по всем п, причем усреднение
производится по всем изотопам с учетом их распространенности и по всем
ориентациям ядерного спина в каждом случае. Тогда мы можем написать
где D/" обращается в нуль при усреднении по п. Слагаемое Djn исчезает
также, если ядро имеет только один изотоп и его спин равен нулю.
Слагаемое Sj в (3.38) дает величину, пропорциональную
(3.38)
j п
(3.39)
2 Viq'^2eiq'4
3 "
(3.40)
в полной аналогии с соотношением (3.12). Второй множитель опять
обращается в нуль, если только q не равно одному из векторов обратной
решетки (условие Брэгга). Первый множитель можно исполь-
9 5. РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ
91
зовать для определения положений ядер в элементарной ячейке, если
известны интенсивности различных диффракционных максимумов. Поскольку Sj
практически не зависит от q (так как размеры ядра малы по сравнению с
длиной волны), то амплитуда (3.40) не будет малой для рассеяния высокого
порядка. Другая характерная черта нейтронной диффракции состоит в том,
что 5 имеет заметную величину для водорода; интенсивность отражений
зависит от положений атомов или ионов водорода, которые трудно обнаружить
с помощью диффракции рентгеновских лучей.
Теперь рассмотрим роль Djn в амплитуде (3.38). Соответствующее выражение
в точности равно нулю, если выполнено условие Брэгга, так как при этом
экспоненциальный множитель одинаков для всех ячеек и мы получаем просто
усреднение по всем N. Следовательно, член с D не изменяет величину
диффракционных максимумов, а дает лишь непрерывный фон. Так как
распределение изотопов и ориентации спинов в узлах решетки являются
случайными, то нас интересует статистически усредненная интенсивность.
Последняя пропорциональна
2 2 (Si-+ Djn)(Sf 4-4"') е^-^' ^ГйУ\ (3.41)
j, j' n, n'
В этом выражении член, содержащий произведение S, является квадратом
амплитуды брэгговской диффракции (3.40). Члены, содержащие произведение S
и D, исчезают при усреднении. Поэтому у нас остается произведение членов,
содержащих D. Если в этом произведении п Ф п', то мы можем заменить
каждое из D его статистическим средним, так как экспоненциальный
множитель зависит только от относительного расположения ячеек п и п'.
Усредняя по всем парам ячеек, находящимся в одинаковых относительных
положениях, мы приходим к случайному распределению изотопов и ориентаций
спинов. Однако для случая п = п' и j-j' мы получаем конечную величину,
равную
2!?W2 = rA/IDT2, (3.42)
}• П
где, как обычно, г - число атомов в элементарной ячейке, a JV - число
