Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
почти стационарном состоянии, которое соответствует орбите, расположенной
вблизи одного из притягивающих центров. Существует, однако, конечная
вероятность такого перехода, при котором эта орбита заменяется орбитой
вокруг соседнего центра, несмотря на то, что между этими центрами имеется
потенциальный барьер (туннельный эффект). Отсюда следует, что электрон
будет
{(С
VS- -J
§ 3. ПОЧТИ СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ
103
медленно перемещаться по решетке. Менее очевидным в этой картине является
то, что в идеальной решетке такому движению электрона соответствует
волновой вектор к, который является интегралом движения и который, как мы
увидим, приводит к тому, что электрон в среднем движется с равномерной
скоростью.
В реальном кристалле это приближение будет иметь смысл для электронов,
находящихся на внутренних оболочках, радиусы которых малы по сравнению с
межатомным расстоянием, вследствие чего интегралы h и J будут малыми.
Соответствующие уровни будут размыты в полосы, ширина которых очень мала
по сравнению с расстоянием между ними. В наружных оболочках, которые
имеют существенное значение для электронов проводимости, перекрытие будет
большим, и результаты этого параграфа будут в лучшем случае иметь смысл
качественного описания.
Задачу можно решить и в противоположном предельном случае, т. е. в случае
почти свободных электронов. Мы примем, что потенциал V(r) является
слабым, так что можно начать с рассмотрения свободных электронов и затем
учесть его как возмущение.
Условие пригодности теории возмущений заключается в том, что матричные
элементы возмущающего потенциала должны быть малы по сравнению с
разностями энергий между уровнями, к которым относятся эти матричные
элементы. Мы опять для простоты начнем С одномерного случая.
Невозмущенные волновые функции имеют вид
где L - длина цепочки, а р - импульс, измеренный в единицах Ь. Энергия
равна
Матричные элементы потенциала для состояний р, р' имеют вид
Вследствие периодичности потенциала V этот интеграл всегда равен нулю, за
исключением того случая, когда р'-р кратно 2я/а. В последнем случае он
равен
§ 3. Почти свободные электроны
(4.31)
(4.32)
104
гл. 4. электроны в идеальной решетке
Случай х = 0 соответствует диагональному матричному элементу, или, иначе
говоря, поправке первого порядка в энергии. Таким образом, поправка равна
среднему значению потенциала по пространству, причем удобно так выбрать
нулевой уровень энергии, чтобы это среднее обратилось в нуль. При sitom
У0 = 0 и смещение энергетических уровней в первом приближении
отсутствует.
Теперь рассмотрим матричный элемент с х Ф 0. Разность энергий между
соответствующими состояниями равна
Это выражение, очевидно, обращается в нуль, когда p = itv.[a, т. е. р' =
- р. Это случай волны, для которой возможно брэгговское рассеяние.
Очевидно, что такое состояние благодаря наличию потенциала связано с
другим состоянием с той же самой энергией. Ввиду этого в окрестности
таких состояний условие применимости теории возмущений никогда не
удовлетворяется. С другой стороны, при достаточном удалении от этих
исключительных состояний величина (4.34) будет конечной, и мы можем
постулировать, что она больше V,. В этой области изменение энергии имеет
второй порядок по V, а именно
А? = S ?(/>) -?[р - (2(tm)./а)] (4,Э5)
X
с точностью до членов высшего порядка.
Мы будем считать, что в окрестности брэгговского отражения порядка х все
разности, возникающие в (4.35), кроме одной, велики. Мы можем затем
применить теорию возмущений для почти вырожденных, состояний, полагая,
что разность энергий между двумя рассматриваемыми состояниями сравнима с
матричным элементом V. Обозначая эти состояния для краткости через 1 и 2
и их невозмущенные •энергии через ?х и Ег, попытаемся найти решение
возмущенного уравнения, близкое к функции
A'W + 'M'a- (4.36)
Коэффициенты Av А2 определяются таким образом, чтобы функ-
ция (4.36) приводила к диагональному виду ту часть полного оператора
энергии, у которой отсутствуют матричные элементы между одним из двух
выбранных состояний и любыми другими. Это дает уравнения
(E - El)Al + VtA2 = 0, j
VlAx + (? - Ег)А2=0, ) (4'37)
которые имеют решения, если детерминант системы равен нулю. Для этого
нужно, чтобы
? = 1(?1 + ?2)±|/Г (4.38)
S 3. ПОЧТИ СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ
105
Если разность энергий велика по сравнению с Vx, то значения энергии,
даваемые формулой (4.38), находятся соответственно вблизи и Ег с
точностью до члена порядка \Vx\°/(El-Е2), который может учитываться
наряду с членами, происходящими от переходов к другим состояниям. Если, с
другой стороны, Е1 - Е2, как это имеет место для точного брэгговского
отражения, то оба значения (4.38) различаются на величину 2|VX|. Когда
разность Et - Ег мала, то щель между возмущенными значениями энергии
отличается от 21 Vx | только на величину, пропорциональную квадрату ?г -
Ег.
На фиг. 10 показано, как меняется энергия свободных электронов под
