Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
до второго порядка это дает
S Vq'(e"+4')[ 1 -Нч • u".i- т(Я • и-.*)*]. (3-24)
п. j
Мы обсудим роль членов первого и второго порядка по отдельности.
В члене первого порядка выразим и через нормальные координаты с помощью
соотношений (1.30) и (1.32). Среднее значение каждого из Q обращается в
нуль, и единственными неисчезающими матричными элементами будут те, в
которых N(i, s) увеличивается или уменьшается на единицу Это
соответствует процессу, в котором испускается или поглощается фонон
рассматриваемого типа. В явной форме член первого порядка имеет вид
s)[Q(f, S) + Q(f. -s)]. (3.25)
j I, a n
Ясно, что этот член приводит к рассеянию при любой длине волны
рентгеновских лучей и любом угле рассеяния, так как для любого заданного
вектора q всегда можно найти такой вектор f, для которого сумма по п
будет иметь значительную величину. Для этого нужно, чтобы было выполнено
соотношение
f = K - q, (3.26)
где К - вектор обратной решетки. Так как I по определению находится в
пределах основной ячейки обратной решетки, то соотношение (3.26)
определяет f и К однозначным образом. Поэтому выражение (3.25)
соответствует непрерывному фону в рассеянии, хотя, как мы увидим, этот
фон ни в коей мере не является однородным.
Чтобы найти интенсивность фона, мы упростим задачу, приняв, что в
элементарной ячейке содержится лишь один атом, так что индекс j может
быть опущен.
8 3. ВЛИЯНИЕ КОЛЕБАНИИ АТОМОВ
83
Интенсивность пропорциональна квадрату модуля (3.25), усредненному по
времени, что эквивалентно взятию диагонального матричного элемента для
начального состояния кристалла. Так как Q(f, s) соответствует поглощению
определенного фонона, a Q(-f, -s) - его испусканию, то в диагональном
матричном элементе будет фигурировать лишь их произведение. (Иными
словами, это означает, что процессы, в которых испускаются или
поглощаются различные фононы, некогерентны друг с другом.) Таким образом,
мы получаем
IF 1а 2 2 e,<*+<We*-*')| q • v (f, s) |2 [Q(f, s) Q*(f, s) +¦
+ Q*(f, s)Q(f, s)l (3.27) Подставляя значения матричных элементов из
(1.63), находим
l?g "+!.]. (3.28)
n, п' f, 8
Детальное поведение этого выражения, рассматриваемого как функция от q,
зависит от того, совпадает или не совпадает вектор f, определенный
согласно (3.26), с одним из дискретных значений, допускаемых граничным
условием для колебаний (1.27). Этот эффект обязан диффракции на внешней
границе кристалла, однако на практике он не поддается наблюдению, так как
ни длину волны, ни направление рентгеновских лучей нельзя определить с
достаточной для этого точностью. Поэтому нас будет интересовать значение
(3.28), усредненное по области, содержащей много решений уравнений
(1.27). В этом случае зависимость от q будет обязана только двум
последним множителям, в которых мы можем рассматривать f как функцию q,
получаемую из соотношения (3.26). Подставляя вместо числа фононов N (f,
s) его равновесное значение из (2.2), мы видим, что интенсивность фона
пропорциональна выражению
(3-29>
8
Здесь первый множитель меняется очень медленно с изменением f. При
высоких температурах, когда гиперболический котангенс можно заменить
величиной, обратной его аргументу, последние два множителя обратно
пропорциональны [ш (f, s)]a. В этом случае функция будет наибольшей
вблизи f = 0 и, согласно (1.63), будет меняться в этой области, как I//2.
Поэтому интенсивность фона обратно пропорциональна квадрату отклонения от
ближайшего узла обратной решетки. Коэффициент пропорциональности зависит
от направления этого отклонения.
Отметим также, что в этой высокотемпературной области интенсивность фона
пропорциональна Т.
84 гл. 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЕТА С НЕПРОВОДЯЩИМИ КРИСТАЛЛАМИ
При 7 = 0, когда выражение (3.29) эквивалентно тому, которое получается,
если в (3.28) положить N = 0, так что существенным оказывается лишь
испускание, а не поглощение фононов, интенсивность меняется только, как
/-1.
Рассмотрим далее член второго порядка в (3.24). Так как мы предположили,
что q • u", j - малое число, то второй член в амплитуде мал по сравнению
с членом первого порядка, который мы только что рассмотрели. Однако член
второго порядка содержит части, когерентные с основным членом, которые
дадут в интенсивности величины того же порядка, что и первый член. Этими
когерентными частями являются те, в которых не происходит изменение числа
фононов и которые, таким образом, представляют собой среднее значение
выражения (3.24), взятое по начальному состоянию кристалла. Таким
образом, член второго порядка в амплитуде будет равен
- Т 2 ' V (Я • "п. jf , (3.30)
а, }
где черта означает усреднение. Последний множитель зависит от
среднеквадратичного отклонения атома n, j в направлении q. Ввиду
трансляционной симметрии это смещение должно быть одинаковым для
соответственных атомов в разных ячейках и, следовательно, независимым от
п. Поэтому сумма по п имеет ту же самую величину, что и в основном члене
в (3.24). Роль поправки (3.30) заключается просто в замене Fj в формуле
