Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
ячеек в кристалле. Эта величина не зависит от q и потому описывает
однородный фон.
Влияние теплового движения атомов можно рассмотреть так же, как и в
случае рассеяния света. Для простоты мы предположим здесь, что все ядра
каждого элемента одинаковы и не имеют спина. Тогда с помощью очевидного
обобщения выражения (3.31) или (3.34) мы получим, что интенсивность
диффракционных максимумов уменьшается на величину, определяемую
множителем, который для всех q совпадает с соответствующим множителем для
случая рентгеновских лучей.
92 ГЛ. 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЕТА С НЕПРОВОДЯЩИМИ КРИСТАЛЛАМИ
Аналогично тепловой фон опять дается выражением (3.25), в котором Fj
заменено на Sj. Однако в то время, как энергия рентгеновского кванта с
длиной волны 10-8 см равна примерно 10 кэв, энергия нейтрона с тем же
волновым вектором равна примерно 0,1 эв. Если для рентгеновских лучей
изменение энергии, обусловленное испусканием или поглощением одного
фонона, совершенно ничтожно,
это ни в какой степени не является справедливым для нейтронов.
Рассмотрим случай, при котором начальный нейтронный волновой вектор равен
к и происходит поглощение фонона в состоянии f, s. Тогда из (3.26)
находим
k' = k + f-|-K (3.43)
и из закона сохранения энергии
а*--я*'+*""¦*)• <344>
На фиг. 6 изображены кривые, соответствующие системе уравнений (3.43) и
(3.44) для одномерного случая. Каждое пересечение
параболы с волнообразной линией дает решение указанной системы уравнений.
Можно заметить, что несколько первых пересечений соответствуют нижней
части колебательного спектра и что / здесь мало, но возрастание энергии
нейтронов вполне заметно.
Следовательно, в этом случае тепловое рассеяние для нескольких первых
значений К концентрируется вблизи значений k' = k-\-K. Легко показать,
что это справедливо и в трехмерном случае. Довольно резкие максимумы,
получаемые в таком случае, не следует путать с диффракционными
максимумами, так как для последних
вместо (3.44) должно выполняться условие k'2 = А2. Для заданной
ориентации кристалла и заданной энергии нейтронов в общем случае
диффракции от идеальной решетки не возникнет, но тепловые максимумы будут
присутствовать.
g 5. РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ
93
Особенно простым является случай, когда k пренебрежимо мало, т. е. когда
падающие нейтроны имеют очень малую скорость. В этом случае максимумы
находятся вблизи к' = К> т. е. они всегда соответствуют простым
кристаллографическим направлениям.
Обратный процесс испускания фотона происходит аналогичным образом и может
быть рассмотрен так же, как и поглощение, если только повернуть
волнообразную кривую на фиг. 6 на 180°. Для нейтронов малой энергии,
которым как раз и соответствует приведенная на фиг. 6 схема, число
пересечений мало; причиной этого является необходимость потерь энергии
нейтроном, которая ограничивают значение разности к'- k величиной 2k.
Г лава 4
ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ
§ 1. Теорема Блоха
В этой и нескольких последующих главах мы займемся свойствами металлов.
При определении понятия металла физик прежде всего отметил бы его высокую
электропроводность, химик - его электроположительность, а инженер -¦ его
ковкость и другие характерные механические свойства. Мы обратим главное
внимание на электропроводность и в дальнейшем выясним, почему все
вещества можно разделить на два совершенно различных класса: металлы и
неметаллы, а также увидим, что первый класс имеет все характерные черты,
которые на практике связывают с понятием металла. Мы поймем также, почему
существуют пограничные случаи - от плохих металлов до полупроводников.
Как известно, электропроводность металлов обусловлена присутствием
электронов с большой подвижностью. Поэтому мы займемся задачей о движении
электрона в кристаллической решетке. В этой главе мы обсудим эту задачу
для случая идеальной решетки, т. е. пренебрежем влиянием колебаний,
любыми дефектами или загрязнениями решетки, а также влиянием любых других
электронов проводимости, за исключением того, что будем учитывать в виде
некоторого среднего образуемый этими электронами пространственный заряд,
так как в противном случае у нас возникли бы неправдоподобно большие
электростатические силы.
Мы рассмотрим, следовательно, задачу об электроне в периодическом поле
сил с некоторым потенциалом V(r), который должен обладать трансляционной
симметрией решетки:
где а" - любой из векторов решетки, определенных в гл. 1. Уравнение
Шредингера для такого электрона имеет вид
Чтобы избежать трудностей, связанных с наличием внешних поверхностей
кристалла, мы опять введем циклические граничные условия
-Lv у, z) = if(x, y + L2, 2) =
= У' z + h) = ^(x> У> z). (4.3)
1/(г + а") = 1/(г),
(4.1)
^V^(r) + [?-У(г)Жг) = 0.
(4.2)
§ 1. ТЕОРЕМА БЛОХА
95
Трансляционная симметрия позволяет нам произвести классификацию волновых
функций аналогично тому, как мы классифицировали в гл. 1, § 5 нормальные
колебания решетки. Этот результат, который в числе других был выведен
