Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пайерлс Р. -> "Квантовая теория твердых тел" -> 40

Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.

Пайерлс Р. Квантовая теория твердых тел — М.: Иностранная литература, 1956. — 260 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayateoriyatverdihtel1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 111 >> Следующая

интегралах (4.21). Кроме того, легко видеть, что Jn, гп = Ап, "• нт, п =
Нп, т- Поэтому мы будем обозначать эти величины У (л -от) и Я (л- от).
Используя (4.18), можно найти, что
H(n - m) = E(yJ(n - m) + f <pn [V(х) - U (х - та) ] <pmdx =
= Е0У(л- m)-\-h(n - от). (4.22)
Величина А (л - от) содержит все потенциалы, за исключением потенциала m-
го атома, и так как подинтегральное выражение содержит множитель (рт, то
интеграл является малым. Величина У (л- от) мала во всех случаях, кроме
случая л = от.
Условие стационарности (4.20) есть:
2 \Н (я - tri) - ?У(л- от) ] Ат = 0.
т
Применяя (4.22), находим отсюда
2 [А (л-от) - (Е - E0)J{n-rn)]Am = 0. (4.23)
т
Мы можем теперь искать решение в виде
Ап = Aeixn. (4.24)
Подстановка (4.24) в (4.23) показывает, что это решение удовлетворяет
уравнению, если
2 А (л) eixn
--------. (4.25)
П
Обе величины А (л) и У (л) очень быстро уменьшаются при возрастании л,
так как они содержат произведения двух атомных волновых функций,
смещенных на расстояние па по отношению друг к другу. Функции А(0) и А(1)
имеют сравнимую величину, а У(0) = 1, если ср
g 2. СИЛЬНАЯ связь
101
нормировано. Поэтому с точностью до малых членов имеем
Е - Е0 = Л (0) + 2А (1) cos •/.. (4.26)
Функция нулевого приближения (4.19) с коэффициентом (4.24), очевидно,
удовлетворяет соотношению (4.7), если
% = ka. (4.27)
В первом приближении выражение для энергии (4.26) соответствует нижней
кривой, изображенной на фиг. 8.
Мы здесь нигде не использовали то обстоятельство, что собственное
значение энергии Е0 соответствует основному состоянию атома. Ввиду этого
изложенная процедура может быть проведена для любого атомного уровня. При
этом мы получаем систему уровней энергии Ej(k) и соответствующие волновые
функции, которые образуют полную ортогональную систему. В случае
надобности эти функции могут быть использованы для дальнейшего улучшения
приближения с помощью теории возмущений более высокого порядка.
В рассмотренном приближении каждый из атомных уровней размывается в
непрерывную полосу шириной 4Л(1). Если наше приближение оправдано, то эта
ширина должна быть мала по сравнению с расстоянием между атомными
уровнями.
Мы здесь молчаливо предполагали, что атомное состояние не вырождено, что
обычно действительно имеет место в одномерном случае. Если, однако, мы
рассматриваем вырожденный уровень с s компонентами, то наша волновая
функция должна изображаться в виде линейной комбинации sN атомных
функций. После выделения экспоненциального множителя (4.24) у нас все еще
остается система s уравнений. Я не стану рассматривать этот вопрос
детально.
Полученные результаты могут быть без труда обобщены на трехмерный случай.
Волновая функция нулевого приближения принимает вид
Фи. f (г) = 2 Л/к'Впфг (г - а" - dj), (4.28)
n,j
где Ф,(г) - опять собственная функция для отдельного центра. В простой
решетке с одним атомом в элементарной ячейке суммирование по j
отсутствует, так что формула (4.28) полностью определяет решение. В
элементе с более сложной ячейкой должно быть найдено из системы г
уравнений. Если состояние атома вырождено, то число уравнений
увеличивается еще больше. Для кристалла, содержащего различные атомы,
сумма по j должна браться только по атомам одного сорта, так как
невозмущенные энергетические уровни различных атомов являются в общем
случае различными, а соответствующие состояния - невырожденными.
102
гл. 4. электроны в идеальной решетке
В простейшем случае, когда г = 1 и рассматривается атомный1 s-уровень,
формула (4.25) для трехмерного случая примет вид
2А(п)Л'"
* (4.29)
Е~-Е0 =
ik.""
Смысл коэффициентов в этой формуле становится очевидным, если произвести
простое обобщение формул (4.21) и (4.22).
Например, для объемноцентрированной кубической решетки, для которой
обратная решетка является гранецентрированной кубической решеткой и
основная ячейка имеет вид ромбоэдра, главные члены в (4.29),
соответствующие приближению (4.26), имеют вид
Е -Е0 - A0 + 8A1cos-i-&a,flcosy kya cos kza. (4.30)
На фиг. 9 изображены два сечения основной ячейки обратной решетки
соответственно для Az = 0 и kz = ^/2a вместе с линиями постоянной
энергии, вычисленными в приближении (4.30). Вблизи к = 0 линии постоянной
энергии являются сферами, и для отрицательных Ах эта область
соответствует минимуму энергии. Энергия достигает наибольшего значения в
углах, где какая-либо одна из компонент к равна 2тс/а, а остальные равны
нулю. Все эти точки эквивалентны. В их окрестности поверхности постоянной
энергии являются частями сфер, которые можно считать образующими
непрерывную сферу, разрезанную на октанты вследствие того, что мы
ограничили значения к основной ячейкой.
Между этими экстремумами энергетические поверхности имеют более сложную
форму. Для специального случая (Е =г = E0-\-h0) поверхность является
кубом.
С физической точки зрения приближение, примененное в этом параграфе,
можно пояснить следующим образом. При сильной связи электрон находится в
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed