Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
значительно упрощается, если частота рентгеновских лучей существенно
больше частот наиболее важных линий поглощения атомов или ионов. В этом
случае можно доказать, что во взаимодействии излучения с атомом, которое
опять описывается формулой (3.1) с заменой ej, Mj на е, т - заряд и массу
электрона, первый член мал по сравнению со вторым. Так как последний
квадратичен по векторному потенциалу, то он имеет матричные элементы,
которые прямо соответствуют исчезновению фотона с волновым вектором к и
испусканию другого с волновым вектором к'. Подставляя матричные элементы
А, которые мы уже использовали в (3.3), мы найдем величину матричного
элемента второго члена в формуле (3.1):
2тФ Им (е"ад- ' (r)'а0-) ]L Г'' 20)
г=1
где сумма берется по всем электронам в атоме, а гг описывает положение 1-
го электрона. От этого выражения мы должны были бы взять матричный
элемент между соответствующими атомными состояниями. Так как при
когерентном рассеянии начальные и конечные состояния одинаковы, то надо
просто усреднить (3.20) по электронным координатам, используя функцию
плотности, описывающую распределение электронов в атоме.
Переходя обычным образом от матричных элементов к амплитудам рассеяния,
можно получить следующее выражение для F:
Jp (г) (3.21)
где р(г) есть плотность электронов в точке г. Полный формфактор
элементарной ячейки можно получить подстановкой (3.21) в
(3.19),
что приводит к выражению
J 2 pj(r)e<"'rd8r.
(3.22)
i з. влияние колебаний атомов
81
Здесь г отсчитывается от фиксированного начала координат в элементарной
ячейке и интеграл берется по ее объему. Величина 2рз(г)
i
представляет собой сумму электронных плотностей всех атомов, т. е. полную
электронную плотность. Поэтому нам не нужно определять, какая часть
электронной плотности принадлежит тому или другому атому. В самом деле,
для внешних, перекрывающихся частей атомов это могло бы быть очень
сложно. Из формулы (3.22) вытекает, что эксперименты дают непосредственно
коэффициенты Фурье электронной плотности в элементарной ячейке.
Как я уже подчеркивал, эти формулы справедливы только в том случае, когда
атомные резонансные частоты пренебрежимо малы по сравнению с частотой
рентгеновских лучей. Наиболее важным примером противоположного положения
является случай, когда частота рентгеновских лучей близка к краю
поглощения одной из оболочек атома в кристалле. В таком случае именно эта
оболочка может вызвать наибольшее рассеяние вследствие аномальной
дисперсии. При этом соотношения (3.20)-(3.22) будут несправедливы. Они
должны быть исправлены также для случая очень жестких рентгеновских лучей
или Т'Лучей, когда становятся существенными релятивистские эффекты.
Согласно простой теории, изложенной в этом параграфе, отражения
рентгеновских лучей являются бесконечно резкими, так как соотношение
(3.15) должно выполняться точно. В действительности даже в идеальном
кристалле линии имеют конечную ширину, так как, если длина волны имеет
такую величину, что рассеяние будет возможным, то волна будет быстро
ослабляться при прохождении через кристалл. В этом случае в соотношении
(3.12) уже нельзя применять синусоидальные плоские волны; необходимо
снабдить их экспоненциально убывающей амплитудой. В этом случае условие
(3.15) будет уже не строгим, а лишь приближенным. Количественная теория
этого вопроса содержится в "динамической теории" интерференции
рентгеновских лучей Эвальда. Задача оказывается тесно связанной с
вопросом о ширине линий в электронной диффракции, который нам придется
обсудить с совершенно иной точки зрения.
§ 3. Влияние колебаний атомов
Как мы видели в гл. 1, в реальном кристалле атомы смещаются относительно
положений равновесия. Поэтому мы должны исправить формулу (3.12),
подставив вместо координат узла решетки действительные положения каждого
атома. Таким образом, амплитуда рассеянной волны будет зависеть от
смещений атомов, которые подвержены статистическим флуктуациям, т. е.
меняются со временем. Следовательно, частота рассеянной волны уже не
будет в точности равна частоте падающего излучения. Строго говоря,
указанное
82 гл. 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ света с НЕПРОВОДЯЩИМИ КРИСТАЛЛАМИ
обстоятельство необходимо было бы учесть с помощью такой замены волнового
вектора рассеянной волны к', чтобы в каждом случае его абсолютная
величина соответствовала истинной частоте. Однако возникающее при этом
изменение частоты имеет порядок частот колебаний решетки, и до тех пор,
пока мы ограничиваемся областью рентгеновских лучей, это изменение
совершенно ничтожно.
Учитывая смещения атомов в соотношении (3.12), мы получаем исправленное
значение суммы
(3.23)
И,j
Рассмотрим сначала диффракцию низшего порядка, для которой q - q' имеет
порядок периода обратной решетки. Поскольку, как мы уже видели, смещения
атомов малы по сравнению с межатомным расстоянием, то член, содержащий и
в экспоненте, является малым, и мы можем разложить его в ряд. С точностью
