Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
от амплитуды в точке на расстоянии R от нашего атома множителем eik''T,
где к' - волновой вектор рассеянной волны. Это означает, что мы должны
умножить (3.10) на множитель
еПк-к'к (311)
Теперь рассмотрим кристалл в целом. Мы будем считать для простоты, что
рассеяние является слабым и, следовательно, волна, падающая на любой
атом, представляет собой первоначальную падающую волну, а волны,
рассеянные другими атомами, пренебрежимо малы по сравнению с этой волной.
Тогда мы получим полную
78 гл. 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЕТА С НЕПРОВОДЯЩИМИ КРИСТАЛЛАМИ
амплитуду рассеянной волны, суммируя по всем атомам выражения (3.10),
умноженные на множители типа (3.11), характеризующие положения атомов.
Для идеальной решетки это дает
А " = е- ОН (ъ • е м У V F -ег'ч' (,>+V-
1 а°.- тсъ ft \*пад. "рас.) ^ J
j n
где
q = k - k'.
Суммирование по п приводит к известному множителю
(3.14)
(3.12)
(3.13)
который равен нулю, если не выполняется соотношение
q = К,
(3.15)
где К - вектор обратной решетки.
Так как мы рассматриваем когерентное рассеяние, то векторы к
и к' должны быть равны по абсолютной величине. Следовательно,
абсолютная величина каждого из них должна быть равна по меньшей
мере половине абсолютной величины наименьшего вектора обратной решетки.
(Случай К = 0 означает отсутствие рассеяния.) Так как наименьшее К имеет
величину порядка 2~/а, где а~10-8 см, то мы видим, что идеальная решетка
не дает когерентного рассеяния света, если только длина волны этого света
не лежит в рентгеновской или еще более коротковолновой области.
В общем случае для заданной падающей волны и заданной ориентации
кристалла рассеяние невозможно. Так как к задано и к' должно иметь ту же
самую абсолютную величину, то мы можем построить все возможные векторы
к', рисуя в пространстве обратной решетки сферу, проходящую через начало
координат (фиг. 5):
или
I k - q Г3 - А2 = 0,
<72 - 2к • q = 0.
(3.16)
В общем случае ни одно из значений q, которые соответствуют точкам на
сфере, не совпадает с каким-либо узлом обратной решетки.
i 2. ДИФФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
79
На практике рассеяние рентгеновских лучей наблюдается с помощью одного из
двух методов. В первом методе рентгеновские лучи немонохроматичны (метод
Лауэ). В этом случае сферу надо заменить семейством сфер, получаемых
изменением абсолютной величины к (но не его направления). Через каждый из
узлов обратной решетки будет проходить по одной из этих сфер, задавая тем
самым определенный вектор к'. Поэтому каждый узел обратной решетки
приведет к рассеянию в определенном направлении и на фотопластинке будет
зафиксирована система точек, каждая из которых принадлежит одному из
узлов обратной решетки.1 Длины волн рассеянного излучения,
соответствующего каждому из узлов, будут различны, что делает весьма
неудобным применение этого метода для количественных наблюдений.
Во втором методе применяется монохроматическое излучение, но положение
кристалла меняется. Это можно осуществить путем вращения монокристалла
вокруг соответствующей оси. В этом случае на фиг. 5 сфера будет
фиксирована, но решетка будет вращаться. Очевидно, что при вращении
некоторые узлы решетки пересекут сферу, вследствие чего рассеяние станет
возможным. Аналогичный результат можно получить, если взять вместо
монокристалла кусок поликристаллического материала или порошок,
приготовленный из мелких кристаллов со случайной ориентацией. Это
эквивалентно вращению решетки на фиг. 5 вокруг всех возможных
направлений. В этом случае каждый вектор решетки К дает рассеянное
излучение, заполняющее конус, ось которого совпадает с направлением
падающего луча (метод Дебая - Шеррера).
Если кристалл ориентирован надлежащим образом по отношению к падающему
лучу, так что для какого-то определенного вектора К выполняется условие
диффракции (3.16), то для абсолютных величин мы находим
2 k sin -j = К,
где 0-угол между падающим и рассеянным излучениями. Вспоминая связь между
волновым вектором и длиной волны, получаем
xsi4=?- <3-17>
Правая сторона имеет размерность обратной длины, причем можно показать,
что она равна целому числу, умноженному на величину, обратную расстоянию
между соответствующими плоскостями, в которых находятся атомы
первоначальной решетки. Это соотношение, записанное в виде
2.0 л .л , оч
Tsin2=7- <ЗЛ8>
известно под названием закона Брэгга.
80 гл. 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ света С НЕПРОВОДЯЩИМИ кристаллами
Согласно (3.12), интенсивность отражения определенного порядка, т. е.
соответствующего определенному вектору обратной решетки К, зависит от
величины
2(3.19)
рде сумма берется по всем атомам в элементарной ячейке. Если атомные
структурные факторы Fj известны для всех атомов или ионов кристалла, то
измерение, проведенное для достаточного количества линий, определяет
векторы dj, иначе говоря, положения атомов в элементарной ячейке.
Структурный фактор Fj можно определить как опытным путем, так и из теории
атомов. Теоретическое определение в общем случае очень сложно, но оно
