Квантовая теория твердых тел - Пайерлс Р.
Скачать (прямая ссылка):
для идеальной решетки величиной
1 (q - и-/)*]. (3-31)
Таким образом, рассматриваемый эффект всегда приводит к уменьшению
рассеяния и сводится к замене плотности распределения электронов в атоме
меньшей плотностью, распространенной на больший объем, как это
свойственно атому, положение которого подвержено флуктуациям.
При расчете среднего значения мы поступим так же, как и при расчете члена
первого порядка
(q • "n,,)9 = 2lq-v/f. s)l21Q(f> s)QT(f, 5) + Q4f. s)Q(f, s)] =
f. a
= Х|я-v,(f, S)|a- Cthfi<a(f' SK (3.32)
rt 1 2М^'ш (f, s) 2kT v
В том случае, когда в элементарной ячейке содержится лишь один атом, это
выражение равно последнему множителю в (3.27), просуммированному по всем
f, и легко видеть, что в этом случае уменьшение интенсивности регулярной
брэгговской диффракции
а 3. ВЛИЯНИЕ КОЛЕБАНИЙ АТОМОВ
85
в точности равно полной интенсивности фона (если не учитывать зависимость
F от q). Однако положение не является столь простым в случае более
сложной элементарной ячейки. Например, может случиться, что в одном из
регулярных диффракционных отражений два атома дадут одинаковые по
величине, но противоположные по знаку амплитуды, и, следовательно, в
сумме останется лишь малая разность. В этом случае, если амплитуда
колебаний одного атома больше, чем другого, то колебания могут привести к
возрастанию данного конкретного максимума.
Если в элементарной ячейке содержится лишь один атом, то выражение (3.32)
можно упростить еще больше, если решетка имеет кубическую симметрию. В
этом случае мы имеем дело с квадратичной формой относительно компонент q,
которая должна соответствовать кубической симметрии, а любая такая
квадратичная форма является изотропной. Она должна быть поэтому
пропорциональна qч, и, следовательно, мы можем заменить первый множитель
величиной (1/!)?',|v(f, s)|2, которая, согласно (1.41), равна просто
(Ve)?4- Заменяя суммирование по f интегрированием, имеем
RTTF- SJVsjVWs тсН| пат*• <333>
8
Это выражение опять пропорционально Т при высоких температурах и
стремится к постоянному пределу при низких температурах. Пользуясь теми
же рассуждениями, которые привели нас к формуле (2.12), можно установить,
что первая поправка к этому пределу пропорциональна Тг.
Заслуживает внимания поведение интеграла вблизи /=0. В этой области
частота пропорциональна / (с коэффициентом, зависящим от направления и
поляризации), и так как гиперболический котангенс для малых значений
аргумента приблизительно равен величине, обратной своему аргументу, то
подинтегральное выражение равно константе. Если бы, однако, мы
рассматривали двухмерную решетку или линейную цепочку, то подинтегральное
выражение было бы пропорционально соответственно /-1 или /~2 и интеграл
расходился бы. Это означает, что в этом случае уже нельзя заменять сумму
интегралом. Легко видеть, что сумма будет возрастать как логарифм
линейных размеров в двумерном случае или пропорционально длине в случае
цепочки.
Причина этого особенно очевидна в случае линейной цепочки, если мы будем
считать, что каждый атом взаимодействует только с ближайшими соседями.
Если при этом зафиксировать положение левого конца цепочки, то малое
смещение любого атома сдвинет равновесные положения всех атомов,
расположенных справа от него, причем не существует механизма, который мог
бы впоследствии исправить возникающую таким образом ошибку.
Следовательно, при
§ 4. РАССЕЯНИЕ СВЕТА
87
В этой области некоторые из приближений, сделанные при выводе наших
основных уравнений, нуждаются в пересмотре, но проще будет сначала
рассмотреть, что получится, если применить выражение (3.23) к области
видимого света, а потом уже вводить поправки.
В видимой области длина волны очень велика по сравнению с постоянной
решетки, и поэтому k и k' малы. В этом случае q • и в (3.24) наверняка
мало, и, следовательно, нам не нужно брать члены более высокого порядка,
чем первый, тем более что решений, удовлетворяющих условиям Брэгга, как
мы видели, не существует.
Следовательно, выражение (3.25) описывает в этом случае весь эффект и в
нем опять нужно учитывать только те значения f, для которых справедливо
условие (3.26); в данном случае оно сводится к требованию К = 0, f = - q.
Для решетки с одним атомом в элементарной ячейке волна с малым волновым
вектором - q является упругой волной; в этом случае знания упругих
постоянных в принципе достаточно для описания рассеяния.
Если, в частности, q направлено вдоль одной из осей симметрии кристалла,
то будут существовать три типа нормальных колебаний, один из которых
соответствует продольным, а другие два поперечным колебаниям.
Произведение q-v(-q, s) для поперечных волн равно нулю, так что
существенно лишь одно из трех значений 5. В общем случае для
произвольного направления q три направления поляризации будут отклоняться
от продольного или поперечных направлений на некоторую величину,
зависящую от анизотропии упругих свойств, и тогда в рассеянии, вообще
