Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Значительно более удобно привести уравнения движения к форме (6.4.4) с помощью уравнений Гамильтона, которые будут рассмотрены в § 10.13 и в последующих главах.
Возвращаясь к уравнениям Лагранжа второго порядка, выразим уравнения движения явным образом через T2 и T1, что нам потребуется в дальнейшем. Согласно (6.1.6) 5
п п
Г=1 5=1
и
U=It)=I
Далее, согласно (6.1.7)
п
T1=^lW г=1
и
^rlV")-F^r = ^r + 2jV^. (6-4.6)
0It s=1
где
___ даг das
lrs — dqs dqr
§ 6.5. Консервативные системы и другие системы, обладающие потенциальной функцией. Предположим, что заданные силы Хт зависят только
от г и не зависят ни от х, ни от t и что для любого виртуального
(6.4.7)
94
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
[Гл. VI
N
перемещения Ьх форма Пфаффа 2 Хг8хт является полным дифференциалом
г=1
— 6V, где V — однородная функция от переменных X1, х2, xN, принадлежащая классу C1. В этом случае заданные силы цазывают консервативными (см. § 3.4), а функцию V — потенциальной энергией. Предположим, далее,, что соотношения между q и х не содержат /. Тогда
JV п N п
2 Хгбхг=2 (2 *г -gf) &?.=2 (6-5-1>
Г=1 S=I Г= 1 S=I
И
2 esogs=-893, (6.5.2)
S=I
где
V(X1, х2, ^) = 58(^,5-2. Чп)- (6.5.3)
Четвертая форма основного уравнения (6.1.12) принимает следующий вид:
2 {т (Jf-)-¦?-+-?}«*-»• <м
Уравнения Лагранжа (6.2.1) и (6.2.2), соответственно для голономных и неголономных систем, записываются теперь в виде
d I д%\ д% т . „ /я г cv
^?;^^'=_^, г=1'2'(6-5-5>
i(-?)-^=~f + S 2'--- - (6-5-6)
В некоторых случаях кроме консервативных сил имеются еще другие силы ХТ. К их числу могут относиться, например, неконсервативные силы, зависящие от положения, или силы, зависящие от скоростей. Если, подобно (6.1.10),
ё.=2^ж- (6-5-7>
г=1
так что работа добавочных сил на виртуальном перемещении равна
и
2 Qs^Qs, то уравнение (6.5.4) нужно заменить уравнением
S=I
?{4 (Я--?+-?--&}«*-*
г=1 0<ІТ
охватывающим формы (6.1.12) и (6.5.4). Уравнения Лагранжа, соответственно для голономных и неголономных систем, принимают теперь вид
a_i д%\ д% dt
I д%\ д% дЪ , /г . „ ,йг0,
(іїг)~*г=~ *г + <?" г=1> 2) (6-5-9)
dt\f-)-^-^7 + Qr+^^mBmr, г=1, 2. ...,».• (6.5.10)
6^r т= 1
§ 6.6]
ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА
95
Форма (6.5.4) справедлива также и в других случаях. Предположим, что заданные силы Хт зависят как от t, так и от я, а соотношения, связывающие q ж х, также содержат U
хг = хг (qu q2, . . ., qn; t). (6.5.11)
Может случиться (см. § 3.4), что для некоторого произвольного виртуального перемещения 8х
N
2 Хт8хг= —6,V, (6.5.12)
г=1
где дифференциал в правой части вычисляется при неизменном і;
N
SSF =2-2^. (6.5.13)
Если теперь
V(X1, х2, xN; t) = ^?(qu q2, . .., qn; t), (6.5.14)
то будем иметь
?^=2(?? ^=S fr*», <6-5-15>
Г=1 S=I Г=1 S=I
2С?86?8=-6Д (6.5.16)
S=I
п
где osQ5=2"^~ogrs вычисляется при неизменном t. В этом случае
s=l 8
уравнение (6.5.4) остается справедливым.
Наиболее простым и часто встречающимся случаем является тот, когда 1) соотношения между q и х не содержат t, 2) заданные силы консервативны и 3) система голономна, и лагранжевы координаты выбраны так, что п = к. В этом случае
п п
? = 7^ = 42 2 а"ЯгЯ. (6.5.17)
Г=1 S=I
и коэффициенты ars зависят только от q. Последнее справедливо также и для Й5, и уравнение (6.5.4) выполняется для произвольных значений Sg1, Oq2, • • •, Sqn. Такая система называется натуральной системой.
§ 6.6. Функция Лагранжа. В этом параграфе мы примем новую систему обозначений. До сих пор, описывая положение и движение системы с помощью
координат X и скоростей х, мы кинетическую и потенциальную энергии обозначали соответственно через T и V'.
Когда мы рассматривали четвертую форму основного уравнения и уравнения Лагранжа, мы во избежание возможной путаницы соответствующие
функции, выраженные через q и q, обозначали через ? и 23. Теперь можно без ущерба для понимания отбросить эти символы и для обозначения кинетической и потенциальной энергий, выраженных через q и q (а также, возможно, и t), пользоваться буквами TnV. Таким образом, для случаев,
96
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
[Гл. VI
описанных в § 6.5, четвертая форма основного уравнения запишется в виде
І {4(f)-?-+#}«*=«• е*»
г=1 °1т
Если разность T — V обозначить через L, то уравнение (6.6.1) можно будет записать в следующей форме (поскольку функция V не зависит от q):
r=l aqr
Если система голономна и п = к, то уравнения движения будут иметь вид d 1\дЬ \ дЬ
W\~dq\'~^-' r = l,2,...,n. (6.6.3)
Если же система неголономна и п = к-{-1, то уравнения движения будут иметь вид
і
4(-^)=-^2*-5™-' г = 1. 2, ..,ти (6.6.4)
m=l
К этим п уравнениям нужно присоединить I уравнений связи
j]Brsqs + Br = 0, г = 1,2,...,1. (6.2.3)
