Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
jv
qu q2, qn, t. Выражение T0= 2 mr (~Jf~) неотрицательно для всех
T= 1
значений q1; q2, ..., qn, t.
Обратимся теперь к основному уравнению (3.1.1). Для виртуальных перемещений имеем
п
б^ = 2 -?"6?" г-1, 2, .... Л", (5.12.4)
S=I *
и уравнение (3.1.1) приобретает вид
JV
2 {2 (тЛ-Хг) ig-} bqs = 0. (6.1.8)
S=I г=1
d dt
* * дх
Преобразуем выражение xr-^~- С помощью лемм (6.1.3) и (6.1.4) получаем
•• дхт__d_ I • дх^\ __ ' __d_ ( дхг^\ _
Xr dqs - dt \Хт Oq3 ) Хт dt \ dqs ) ~
Коэффициент при 6qs в уравнении (6.1.8) получается равным
г=1 0Is
где
jv
r=l S
Но выражение (6.1.9) теперь имеет вид
4 (f-)<w-»>
§ 0.21 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 8&
и окончательно получаем
s=l "4 s
Это четвертая форма основного уравнения.
Укажем физический смысл величин Q. Сумма
Q1Oq1 + Q28q2 + ¦¦¦+ QnOqn
выражает работу, совершаемую заданными силами на виртуальном перемещении OgT1, 8q2, Sqn- Величины Q называются обобщенными силами.
§ 6.2. Уравнения Лагранжа. Уравнение (6.1.12) справедливо для любого виртуального перемещения Oq1, Sq2, bqn. Предположим сначала, что
система голономна и число лагранжевых координат минимально, т. е. п=к. Тогда уравнение (6.1.12) справедливо для любых значений 8qu 8q2, 8qn, и мы получаем уравнения движения Лагранжа
^(т-)-^^ г=1,2' (-2Л)
"Qr
Предположим теперь, что система неголономна и число лагранжевых координат минимально, т. е. п = к+1. Имеем I уравнений связи
п
2 BTSdqs +Brdt = О, г = 1, 2, I. (5.12.2)
«=i
Уравнение (6.1.12) теперь справедливо не для произвольных Sg, а для 8q, удовлетворяющих условиям
п
2 5rs6?s = 0, 7-=1, 2, I. (5.12.5)
S=I
Уравнения движения запишутся теперь в форме
і
s: = qr+ 2 Я-В™> 7-=1, 2, тг, (6.2.2)
дЧт Г т=1
содержащей I множителей A1, K2,___, А.;. Присоединяя к уравнениям (6.2.2)
уравнения связи
п
2 Braqs+BT = 0, г = 1, 2, .... Z, (6.2.3)
S=I
получаем систему п + I уравнений для определения 'п + I неизвестных q ш % как функций времени. Множители Я линейно связаны с реакциями связи; например, в задаче о качении сферы они связаны с реакцией плоскости в точке контакта с ней сферы.
Покажем, как изменяются уравнения при наличии избыточных координат. Пусть имеется р таких координат и р связывающих их соотношений
Fr {Qu Яг, • • м Sn, О = 0, г = 1, 2, . . ., р. (5.12.6)
В этом случае в правую часть (6.2.1) или (6.2.2) добавляются слагаемые
v
S ^ 4f-' г=1, 2, тг. (6.2.4)
t=i Г
Множители [X1, [X2, . . ., [Xp представляют р лишних неизвестных, для определения которых имеем р дополнительных уравнений (5.12.6).
so
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
[Гл. VI
Уравнения (6.2.1) и (6.2.2) были получены Лагранжем в 1760 г. С их помощью можно описать движение любой механической системы. Сначала выбираются лагранжевы координаты qT, затем составляется функция ? — кинетическая энергия в виде полинома от q (с коэффициентами, зависящими от q и, возможно, от t), и, наконец, пишется выражение для работы, совершаемой заданными силами на произвольном виртуальном перемещении, в виде дифференциальной формы 2 QrUQr- Уравнения Лагранжа занимают центральное место в его знаменитом сочинении «Mecanique Analy-tique» [4], опубликованном в 1788 г. Это сочинение следует отнести к эпохальным трудам во всей истории математики. Лагранж писал, что его метод позволил свести динамическую задачу к задаче чистого анализа, так что оказалось излишним приводить всякий раз геометрические соображения: -«On пе trouvera point de Figures dans cet Ouvrage» *). Сочинение Лагранжа является основным источником идей аналитической механики и по праву считается одним из величайших духовных достижений человечества.
§ 6.3. Вывод уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона. В § 3.7 мы
получили принцип Гамильтона в следующей форме:
tl iv
j (oT + 2 Xroxr)dt = 0. (3.7.4)
to r-=l
Здесь б обозначает перемещение из точки действительной траектории в точку варьированной траектории, соответствующую тому же моменту времени, так что
Ьхт = -^-Ьхт. (6.3.1)
Вариация бж представляет собой виртуальное перемещение, которое произвольно, за исключением того условия, что каждая составляющая 8хг является функцией от t класса C2, обращающейся в нуль в моменты tg и h-Принцип Гамильтона выражает свойство механической системы, не зависящее от системы координат, используемой для описания этой системы. Попытаемся теперь выразить это свойство в лагранжевых координатах qT.
Рассмотрим траекторию изображающей точки в пространстве q и выразим принцип Гамильтона вместо переменных х в переменных q. Строим варьированный путь, выбирая в каждый момент времени виртуальное перемещение бд и получая точку на варьированной траектории, соответствующую этому моменту времени. Это виртуальное перемещение произвольно, за исключением того условия, что каждая вариация бд> представляется функцией времени класса C2, обращающейся в нуль в моменты и h-Поскольку вариация синхронна,
