Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
1-і«— JL = U. (5.6.1)
Остановимся подробнее на случае, когда h < 0, например, h = — рУ(2а), а>0 (по аналогии с рассмотренным выше эллиптическим движением).
Если в начальный момент и х и х положительны, то наибольшее удаление частицы от точки О равно 2а. Чтобы исследовать связь между координатой частицы и временем, введем новую переменную 9, определяемую из уравнения
X = а (1 + cos 9). (5.6.2)
При X = 2а переменная 9 равна нулю, и можно считать, что с ростом t эта переменная монотонно возрастает до столкновения с частицей в точке О, когда 9 = л. Подставляя выражение для х из (5.6.2) в уравнение
т-2=^ (4-і)' <5-6-3)
находим
(1 + cos 9)2 92 = пг. (5.6.4) Отсюда, учитывая, что 9 > 0, получаем
(1 + cos 0) Є = п, (5.6.5)
78
ЛАГРАНЖЕВЫ КООРДИНАТЫ
[Гл. V
и, следовательно,
0 + sin 0 = nt, (5.6.6)
причем при г = 0 имеем 9 = 0 и х = 2а.
Уравнение (5.6.6) справедливо, собственно говоря, только для значений 9, удовлетворяющих условию — л < 9 < л, поскольку X-*- — ОО, когда X -> 0. Однако иногда предполагают, что движение продолжается после столкновения, и тогда считают, что равенство (5.6.6) сохраняет силу и после столкновения. Такое предположение представляется наиболее естественным. Если бы а не равнялось нулю, а было бы малой положительной величиной, то орбита представляла бы собой очень тонкий вытянутый эллипс и мы имели бы периодическое движение, при котором в каждом периоде существовало бы положение, близкое к столкновению. Это предположение означает, что характер поведения частицы сохраняется и в предельном случае прямолинейного движения.
Полагая 0 = л + ф, t = (п/п) + т, получаем
iL=:l_cds<p, (5.6.7)
пт = ф — sin ф. (5.6.8)
Столкновение происходит при X = T = ф = 0.
Если переменную ф считать комплексной, то правые части равенств (5.6.7) и (5.6.8) будут целыми функциями, и, исключив ф, мы получим х как аналитическую функцию от т. Разложение этой функции в степенной ряд в окрестности точки т = 0 имеет вид
оо
| = 1(6от)2/3-і(6пт)4/3+ . . . = 2 C11^lK
n=i
При т = 0 функция X (т) имеет алгебраическую точку разветвления, в которой соединяются три листа соответствующей римановой поверхности. Функция X (т) действительна лишь на одном из этих трех листов, и существует одно вещественное аналитическое продолжение за особую точку т = 0. Эту функцию и выбирают для описания движения после момента столкновения. Выбранная ветвь х (т) является четной функцией от т.
Высказанные выше соображения относятся и к задаче трех тел. Может случиться, что в силу начальных условий два из трех тел столкнутся друг с другом в некоторый момент t = t0. Для описания дальнейшего движения нужно принять подходящее предположение, это делается только что указанным способом. Ясно, что в течение небольшого промежутка времени после момента столкновения влияние третьего тела будет пренебрежимо мало, и в течение этого промежутка времени задачу можно рассматривать как задачу двух тел.
§ 5.7. Лагранжевы координаты для голономной системы. Вернемся теперь к задаче о переходе от декартовых координат к лаграыжевым, которую мы начали рассматривать в § 5.1. Допустим сначала, что уравнения связи (2.2.4) вполне интегрируемы, т. е. что они эквивалентны L уравнениям вида
dfT = 0, г = 1, 2, . . ., L, (5 7.1)
где
fr — fr (xi, х2, . . ., xN; t), (5.7.2)
причем fr ? C2. В этом случае система является голономной.
§ 5.7]
лагранжевы координаты для голономной системы
79
Рассмотрим преобразование
Qr = /г,
1, 2,
(5.7.3)
в котором первые L функций / суть функции (5.7.2), определяемые уравнениями связи, а остальные к = N — L функций / представляют собой подходящим образом подобранные функции от аргументов X1, х2, ¦ ¦ ., xN; t, принадлежащие классу C2. Если D — достаточно малая область пространства X1, х2, . . ., xN; t, в которой якобиан
д (А, к
In)
д (X1, X2, XN)
(5.7.4)
отличен от нуля, то уравнения (5.7.3) определяют взаимно однозначное соответствие между областью D пространства х, t и областью А пространства q, t. Уравнения (5.7.3) могут быть разрешены относительно X1, х2, ... . . ., xN. Получаемые при этом функции от аргументов q ж t принадлежат классу C2 в области А. В большей части случаев, представляющих практический интерес, переменные х зависят только от q и не зависят от t. Уравнения связи в новых переменных принимают простую форму:
а.
г = 1, 2,
L.
(5.7.5)
(Действительно, в большей части случаев уравнения связи с самого начала могут быть представлены в этой форме, причем а — абсолютные постоянные, не зависящие от начальных условий.) Если значения постоянных аг в уравнениях (5.7.5) установлены, остальные к переменных q определяют положение системы. Переменные х выражаются как явные функции от к координат Ql+ii Ql+2, • ¦ •> Qn и времени, что является важным свойством лагранжевых координат. Уравнений связи теперь нет, перемещение, представляемое
произвольными возможным, и
дифференциалами dg
L+ii
dq.
N
S=L+1 *
