Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
vT = хт (qi, q2, . . ., qn; t), г = 1, 2, . . ., Лг, (5.12.1)
и все возможные конфигурации системы будут охватываться соответствующими значениями ^1, q2, ¦ ¦ ., <?„. t в некоторой области D пространства q, t. В достаточно малой области этого пространства (хотя и не всегда во всей области D) соотношение между переменными q и х будет взаимно однозначным.
В последующих примерах будет предполагаться, что функции хт Qzi • • •i Чпі t) принадлежат классу C2 в области D. В большей части случаев, представляющих практический интерес, переменные х зависят только от у и не зависят от t.
Если система голономна, то наименьшее возможное значение п равно числу к степеней свободы системы. Если же система неголономна, то наименьшее возможное значение п равно к -f- I, где Z — число уравнений связи
п
2 Brsdqs+Brdt^O, г=1, 2, Z, (5.12.2)
S=I
причем эти уравнения не допускают интегрируемых комбинаций. Коэффициенты в уравнениях (5.12.2) принадлежат к классу C1. Возможные перемещения определяются формулами
п
^=3-?-^« + -?1^ г = 1, 2, .... Л". (5.12.3)
S=I
86
ЛАГРАНЖЕВЫ КООРДИНАТЫ
[Гл. V
Входящие сюда дифференциалы Uq1, dq2, . . ., dqn, dt удовлетворяют условиям (5.12.2). Виртуальные перемещения даются равенствами
п
0^ = 2-3?-0?' г-1, 2, N. (5.12.4)
S=I
Дифференциалы OgT1, Oq2, ..., 8qn удовлетворяют условиям
п
H^A = O, г = 1, 2, I. (5.12.5)
S=I
Формулы (5.12.3) и (5.12.4) справедливы, разумеется, и для голономных систем, но в этом случае дифференциалы не подчинены никаким ограничениям.
В любом случае число лагранжевых координат при желании можно взять больше минимального числа, скажем, на р координат. При этом к пфаффовым уравнениям связи (если таковые имеются) добавятся еще р соотношений. Эти соотношения можно представить в форме конечных уравнений вида
'Fr Q2, ..., дп; t) = 0, г = 1, 2, ...,р (5.12.6)
(а не уравнений Пфаффа). Функции F1. будем считать имеющими непрерывные первые производные в некоторой области значений <?i, q2, . . ., qn; t. В случае, когда число лагранжевых координат превышает минимальное, принято говорить об избыточных координатах. Избыточные координаты вводят, например, в тех случаях, когда желают перейти к новой системе, накладывая связи на старую систему, при этом может оказаться удобным сохранить координаты, описывающие старую систему, хотя число их и не является наименьшим возможным числом для новой системы.
Во многих случаях совокупность gt, q2, . . ., qn удобно рассматривать как изображающую точку в пространстве п измерений. Движение этой точки дает наглядное представление о движении механической системы, поскольку движение системы (т. е. последовательность ее конфигураций) находится в соответствии с движением изображающей точки в re-мерном пространстве. Иногда, удобства ради, мы будем пользоваться обозначением q вместо
{qi, q2, . . ., qn} и q вместо {qu q2, . . ., qn}.
Глава VI УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
§ 6.1. Четвертая форма основного уравнения. Лагранжевы координаты.
Следующим нашим шагом будет представление основного уравнения в лагранжевых координатах: первую форму (3.1.1) основного уравнения мы запишем в переменных q вместо переменных х. Характерным свойством лагранжевых координат является то, что переменные X могут быть представлены как явные функции от qit q2, . . ., qn, t. Мы постоянно будем предполагать, что эти функции принадлежат классу C2 в соответствующей области D изменения ?1, qz, . . ., qn, t. Поскольку
хт = хт (qu q2, . . ., qn; t), г = 1, 2, . . ., N, (6.1.1)
имеем
^ = 2 ^.+ f. ' = 1,2,...,*, (6-1-2)
s=l
* •
т. е. производные хт связаны с q линейными соотношениями, коэффициенты в которых зависят от qt, q2, . . ., qn, t.
Две следующие леммы выражают простые свойства функций в правых частях равенств (6.1.2).
Лемма 1.
Лемма 2.
4 " '
дхт d I дхг
Первое равенство очевидно, для доказательства второго заметим, что
п
дхт •sry д2хг ' . д2хг
dqs dqsdqm *m 1 dqsdt
m=l
d*xr • дЧт d I дхт \
dqmdqs ?m + dt dqs ^ dt \~dqj) '
Порядок дифференцирования можно менять, поскольку xr(qi, q2, ..., qn; t)?C2 в области D.
Если xr из (6.1.2) подставить в формулу кинетической энергии
=1
(3.3.3)
88
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
[Гл. VI
то получим полином ? второй степени относительно Зл, CJ2, Qn с коэффициентами, зависящими от ^1, q2, . ¦., Qn, t. Полином ? может быть представлен в форме
Z = T2+ T ! + T0, (6.1.5)
где T2 обозначает однородную квадратичную функцию от q:
п п
T2 = lS IjMrfo (6.1.6)
T1 — однородную линейную функцию от q:
п
f,= S«*, (6.1.7)
r=l
a T0 является функцией от qu qz, ..., qn, t. Нетрудно видеть, что, отбрасывая слагаемое -^- в правой части формулы (6.1.2), мы приходим к выражению для Т, совпадающему с T2. Поэтому T2 представляет собой определенно-положительную квадратичную форму от q при всех значениях
