Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 40

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 290 >> Следующая


§ 5.10. Достижимость. Рассмотрим теперь случай, когда сфера катится по неподвижной горизонтальной плоскости. Тогда уравнения связи будут иметь вид

4t — р cos ф d9 — р sin 9 sin ф dap = 0, (5.10.1)

dr\ — p sin ф d9 + p sin 9 cos ф dap = 0. (5.10.2)

Мы имеем неголономную систему с тремя степенями свободы. Однако пространство конфигураций, достижимых из заданного положения, будет пятимерным. В самом деле, систему из любой исходной конфигурации можно перевести в любую другую, определяемую произвольными значениями координат I, л, 0, ф, ар. Это уже отмечалось нами на примере более простых неголономных систем (§§ 1.8 и 2.1). В этом параграфе доказательство достижимости любой конечной конфигурации из любой начальной мы проведем следующим образом. Пусть в начальной конфигурации P1 точка А сферы находится в контакте с точкой А' плоскости, а в конечной конфигурации P2 точка В сферы находится в контакте с точкой В' плоскости. Рассмотрим дугу AB большого круга; обозначим ее длину через pa, а длина линии А 'В' пусть будет р (2пп + ?), где п — целое число и 0 ^ ? < 2я. Продолжим (если это нужно) дугу AB на сфере до точки С так, чтобы длина дуги AC равнялась p?; пусть D будет серединой дуги ВС. Чтобы от конфигурации P1

6*

84

ЛАГРАНЖЕВЫ КООРДИНАТЫ

[Гл. V

перейти к конфигурации P2, повернем сферу сначала вокруг диаметра, проходящего через точку А', так, чтобы дуга AB оказалась в вертикальной плоскости, проходящей через отрезок AB'. Затем перекатим сферу к точ-

ке В , повернув на угол 2пп + — (а + ?) так, чтобы точка D сферы пришла

в соприкосновение с точкой D' плоскости. После этого повернем сферу на угол л вокруг диаметра, проходящего через точку D', и затем перекатим

ее на угол -у (? — а) до совпадения точки В сферы с точкой В' плоскости.

Наконец, поворачивая сферу около диаметра, проходящего через точку В', переведем ее в требуемое положение P2- Эти пять операций, разумеется, можно осуществить за конечный промежуток времени, и координаты в процессе этих движений будут иметь непрерывные вторые производные по времени. (Если отрезок кривой повернуть на угол у за конечный промежуток времени от t = .0 до t = т, вращая его с угловой скоростью, равной 30yt2 (т — і)21х5, то угловая скорость и угловое ускорение как в момент t = 0, так и в момент t = % при этом будут равны нулю.)

§ 5.11. Варьированный путь в принципе Гамильтона. В принципе Гамильтона (§ 3.7) варьированный путь получается из истинного пути посредством виртуального перемещения в каждый момент времени. Для неголономной системы варьированный путь, вообще говоря, невозможен. Это утверждение нами уже было доказано для одной проста неголономной системы (§ 3.8). Докажем его теперь еще для двух случаев, а именно: 1) для планиметра |(§ 5.1, п. 6) и 2) для сферы, катящейся по плоскости (§ 5.10).

1) Истинное движение удовлетворяет уравнению

Уі — tg 9^1 = 0, (5.11.1)

ш перемещение является виртуальным, так что

бг/і — tg 6 Ox1 = 0. (5.11.2)

Варьированный путь возможен тогда и только тогда, когда

б — tg Є X1) = 0. (5.11.3)

Поскольку равенство (5.11.2) выполняется в каждый момент времени, соотношение (5.11.3) эквивалентно условию

б (Уі-tg6X1)-IgOS^) = O (5.11.4)

или, что то же,

sec2 Є (в Ox1 — X1OQ) = 0. (5.11.5)

Варьированный путь возможен тогда и только тогда, когда

^=Ф, (5.11.6)

ё X1

что в общем случае не имеет места.

2) Для сферы уравнения связи служат условиями качения (5.10.1) и (5.10.2). Рассмотрим простой случай, когда исходное движение представляет собой качение вдоль оси Ox без вращения около вертикальной оси. Если рассматривать перемещение, при котором в каждый момент времени центр сферы смещается на бесконечно малое расстояние рос под прямым углом к плоскости у = 0, то новый варьированный путь возможен. Дело в том, что

I 5.12]

ОБЗОР ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

85

точки контакта на сфере лежат на окружности длиной 2яр cos а, что с точностью до малых первого порядка относительно а равно 2лр. В общем же случае варьированный путь невозможен без проскальзывания. В исходном движении

Є = ф = |я, т) = 0, I = P^ (5.11.7)

и вариация такова, что

_ р бір = 0, 6г|-р6Є = 0. (5.11.8)

Уравнения связи (5.10.1) и (5.10.2) удовлетворяются на варьированном пути тогда и только тогда, когда

б (I _ р cos ф ё — р sin Є sin ф гр) = 0, (5.11.9)

б (т| — р sin ф б + р sin 6 cos ф і])) = 0, (5.11.10)

что равносильно (вспомним значения переменных в исходном движении) уравнениям

|(б|-рбгр) = 0, |(бті-рбЄ)-р1рбф = 0.

Эти уравнения не удовлетворяются, за исключением упомянутого выше случая, когда бф = 0.

Таким образом, как и в более простом примере § 3.8, варьированный путь невозможен без нарушения уравнений связи. Вряд ли нужно напоминать читателю, что этот факт ни в коей мере не нарушает принципа Гамильтона.

§ 5.12. Обзор полученных результатов. Резюмируем кратко наши выводы относительно лагранжевых координат. Изменив очевидным образом обозначения, можно определить лагранжевы координаты qi: q2, . . ., qn так, что переменные будут выражаться явным образом через q и t:
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed