Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
8qr = -^-8qr, г = 1, 2, ..., п. (6.3.2)
Соотношения (6.3.1) и (6.3.2) эквивалентны. Это цочти очевидно, если связь между q и х не содержит t, но это справедливо также и в общем случае, когда функции хт = хт (Cj1, cj2, . . ., qn; t) обладают свойствами, указанными в § 6.1. Доказательство проводится очень просто с помощью лемм
') «В этом сочинении не найдется рисунков» (франц.). (Прим. ред.)
§ 6.3]
ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ИЗ ПРИНЦИПА ГАМИЛЬТОНА
91
(6.1.3) и (6.1.4). Имеем
п
6^=S Ж 6?s' r = l,2,...,N, (5.12.4)
S=I
r=i,2,...,N. (6.1.2)
S=I
Если рассмотреть перемещение Sg, удовлетворяющее (6.3.2), то с учетом (6.1.3), (6.1.4) и (6.3.2) получим
п
(6.3.3)
Перемещение Sg, удовлетворяющее (6.3.2), удовлетворяет, таким образом, и (6.3.1), и обратно, поскольку между q ж х существует взаимно однозначное соответствие, перемещение Ox удовлетворяет (6.3.2), если оно удовлетворяет (6.3.1).
В принципе Гамильтона действительное движение системы сравнивается с варьированным движением при одних и тех же конфигурациях системы в начальный и конечный моменты времени и одинаковых самих этих моментах времени. Поэтому, если мы хотим выразить этот принцип с помощью лагранжевых координат qi: qz, . . ., qn, то нужно потребовать, чтобы положение системы в начальный и конечный моменты и самые эти моменты оставались неизменными (хотя соотношения между q и X содержат t). Принцип Гамильтона, таким образом, принимает следующую форму:
tl п
j (oS + 2 Qrbqr )dt = 0. (6.3.4)
to r=l
Мы увидим, что уравнение (6.3.4) приводит непосредственно к уравнениям Лагранжа. В самом деле, как уже отмечалось ранее, принцип Гамильтона по существу представляет собой интегральную форму основного уравнения. Вывод уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона осуществляется тем же путем, что и вывод этих уравнений непосредственно из основного уравнения.
Преобразуя первый член в левой части уравнения (6.3.4) и используя (6.3.2), находим
j (б?+2 Qrbqr) dt= j 2 (^^r + ^bqr+Qrbqr)dt = to r=l to r=l T д1т
= ^+^bqr+Qrbqr)dt=.
t0r=l °Чт
-І f-Ч"-І' І IMf )-¦?-*} <6-3-5>
г=1 °Чт t0 t0r=l °Чт
92
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
[Гл. VI
Поскольку каждая вариация 8qr в моменты t0 и tt обращается в нуль, уравнения (6.3.4) и (6.3.5) приводят к равенству
]І {-і (f-)-ЗНь}«**-°- <6-3-6>
to г-= 1 1r
Если система голономна и га ==&, то [уравнение (6.3.6) справедливо для произвольных значений 6grb 8q2, . . ., Sqn (при условии, что 8qr ? C2). Согласно известной лемме вариационного исчисления коэффициент при каждом 8qr в подынтегральной функции тождественно обращается в нуль, и мы получаем уравнения Лагранжа
г==1«2> (6-2Л>
Если система неголономна и n = k-\rl, то уравнение (6.3.6) справедливо лишь при условии, что вариации oqt, 8q2, Oqn удовлетворяют уравнениям
j±Brs8qs = 0, г = 1, 2, ..., I. (5.12.5)
S=I
Отсюда
W {^)--Sr = Qr+^ kmBmr' г=\,2,...,п. (6.2.2)
дЧг r m=i
К этим уравнениям присоединяются I уравнений связи
п
H?rA + ?r = 0, г=1, 2, I. (6.2.3)
S=I
Как указывалось в §§ 3.8 и 5.11, если система неголономна, то варьированный путь в общем случае не удовлетворяет уравнениям связи.
§ 6.4. Форма уравнений Лагранжа. Для голономной системы г -е уравнение Лагранжа записывается в форме
arlqi + ar2q2 + . . . + arnqn = срг. (6.4.1)
Правая часть срг зависит только от q, q и t: уравнения Лагранжа линейны
относительно вторых производных q. Кроме того, коэффициенты ars суть коэффициенты определенно-положительной квадратичной формы T2, причем определитель ||ars|| не обращается в нуль ни при каких значениях q и t,
так что уравнения (6.4.1) можно разрешить относительно q:
qr = i|v (яи яг, ¦ ¦ м qn; qu q2, • • ., qn; t), г = 1, 2, ..., п. (6.4.2)
Функции ij)r зависят только от q, q и t. Для классической механики характерно то обстоятельство, что с помощью уравнений движения ускорение явным образом выражается через координаты, скорости и время. Этот факт уже отмечался нами в § 1.1, когда мы рассматривали движение свободной материальной [точки.
S 6.5]
КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
93
Если обозначить qr = сог, то систему п уравнений второго порядка(6.4.2) можно заменить системой 2п уравнений первого порядка:
qT = (or, <?>r = ipг q2, • • м qn; мі. »2, • • •> «n! 0.
г = 1, 2, . . ., п. (6.4.3)
Уравнения теперь приводятся к виду
х = X (6.4.4)
где X и Jf — матрицы-столбцы, или векторы с 2п составляющими, причем X — функция от X и t. Форма (6.4.4) играет важную роль, и в дальнейшем мы часто будем ею пользоваться. Мы уже встречались с ней в § 1.1, когда рассматривали движение одной частицы. Уравнения (6.4.3) или (6.4.4) можно рассматривать как уравнения, описывающие движение изображающей точки в пространстве 2га измерений. Заметим, что первая группа уравнений — чисто геометрическая: эти уравнения просто определяют переменные сог и совершенно не связаны с принципами механики. Они не изменятся, если на систему будут действовать другие заданные силы. Напротив, последние п уравнений зависят от законов движения и заданной системы сил. В приложениях, однако, обе эти группы уравнений объединяются в единую систему вида (6.4.4), и указанное различие этих групп теряет свое значение.
