Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
dt + a dh + Ъ dlz + с dl3 = 0. (5.9.3)
Если уравнение (5.9.3) относится все время к одной и той же частице тела, то его можно проинтегрировать; проделав это, получим
t + all + biz + cl3 = const (5.9.4)
6 Л. А. Парс
82
ЛАГРАНЖЕВЫ КООРДИНАТЫ
[Гл. V
и два аналогичных равенства. В этом случае тело имеет одну неподвижную точку, система является голономной с тремя степенями свободы и остается рассмотреть лишь вопрос об ориентации тела при его вращении около неподвижной точки. Если же соотношение (5.9.3) в различные моменты времени относится к различным частицам (например, к частицам, находящимся в точке контакта тела с поверхностью, по которой оно катится), то уравнение (5.9.3) и два аналогичных уравнения не являются вполне интегрируемыми и система в целом оказывается неголономной.
Аналогичные замечания справедливы и в том случае, когда частица (а, Ь, с) не находится в покое, а движется с заданной скоростью (U, V, W)7 причем U, V, W — известные функции от t. Уравнение (5.9.3) заменится при этом следующим:
dl + a dh + Ь dl2 + CdI3= U dt. (5.9.5)
Подобно предыдущему, если а, Ъ, с — координаты одной и той же частицы, то система голономна. В этом случае мы имеем твердое тело, одна точка которого совершает заданное движение. Если же, например, а, Ъ, с — координаты точки контакта тела с движущейся поверхностью, по которой катится тело, то в различные моменты времени а, Ъ, с принимают различные значения, и система оказывается неголономной.
В качестве иллюстрации рассмотрим классический пример качения сферы радиуса р по идеально шероховатой горизонтальной плоскости. Предположим, что плоскость вращается с угловой скоростью Q = Q (t) около точки О, лежащей в этой же плоскости. Выберем неподвижную систему координат с началом в точке О и осью Oz, направленной вертикально вверх. Положение тела в момент t будем определять координатами I, т) точки контакта (так что центр сферы будет иметь координаты I, т), р), а ориентацию тела — эйлеровыми углами Э, ср, ар. (Подробнее об углах Эйлера будет сказано в § 7.11, а сейчас для наших целей нам нужны будут лишь определение этих углов и матрица (7.11.1).) Первое условие качения (5.9.5) записывается в виде
dl + a dh + bdl2 + с dl3 = — t)q dt, (5.9.6)
и так как а, Ъ, с суть координаты точки касания сферы с плоскостью, то
(а, Ъ, с) = — р (щ, п2, п3), (5.9.7)
где р — радиус сферы. Таким образом, условие (5.9.6) принимает вид
dl — р (щаіі + n2dl2 + n3dl3) = — ни dt. (5.9.8)
Подчеркнем, что при составлении равенства (5.9.6) координаты а, Ъ, с считаются постоянными, поскольку речь идет о движении частицы, фиксированной в сфере. Но в различные моменты времени мы имеем дело с различными частицами, и, чтобы получить уравнение (5.9.8), справедливое во все моменты времени, координаты а, Ъ, с следует заменить новыми переменными согласно соотношению (5.9.7). При выполнении преобразования (5.9.8) путем непосредственной подстановки значений Z1, mt, . . ., п3 в Э, ср, о|) не возникает сколько-нибудь серьезных трудностей. Тем не менее вычисления можно упростить, если учесть следующее. Направляющие косинусы оси Ox по отношению к движущейся системе G123 равны Z1, Z2, Z3. Поэтому вектор L = {Z1, Z2, Z3} является постоянным, и, следовательно,
T + со X Tv = O1 (5.9.9)
где '(о '— угловая скорость тела или, что то же, движущихся осей G123. Обращаясь теперь к выражению щаіі + n2dl2 + n3dl3, фигурирующему
§ 5Л0]
ДОСТИЖИМОСТЬ
83
в уравнении (5.9.8), можем написать
H1Z1+ H2Z2-T H3I3 = JSf-L = Ж-(LX to) = &-(Ж Xi) = to¦M, (5.9.10)
где через Ж обозначен вектор {щ, п2, п3}, а через M — вектор {mi: т2, т3}. Скалярное произведение to•M представляет собой составляющую соу вектора угловой скорости вдоль оси Oy. Равенство (5.9.8) принимает теперь вид
d% — paydt = — 4Q dt. (5.9.11)
G другой стороны,
coy = cos фЭ + sin 9 sin фор, (5.9.12)
и соотношение (5.9.8) окончательно записывается в виде
dt — р cos ф d9 — р sin 9 sin ф dap = — r\Q dt. (5.9.13)
Мы получили первое из двух уравнений связи для неголономной системы.
Заметим, что равенство (5.9.11) можно получить, выбрав систему координат с началом в точке G и осями, сохраняющими неизменное направление и параллельными соответственно осям Ох, Oy, Oz. Тогда первое условие качения запишется в форме
І - рш„ = —tiQ, (5.9.14)
эквивалентной (5.9.11). Этот путь, правда, несколько короче предыдущего, но мы им не воспользовались, так как хотели проиллюстрировать изложенный выше метод.
Аналогичным образом получаем второе условие качения:
cZn — р sin ф d9 + р sin 0 cos ф dop = ?Q dt. (5.9.15)
Третье условие заключается в том, что ? = р.
Легко видеть, что уравнения Пфаффа (5.9.13) и (5.9.15) не допускают интегрируемых комбинаций. Система неголономна и имеет три степени свободы; наименьшее число лагранжевых координат, необходимых для определения положения и ориентации системы, равно пяти. В качестве таких координат можно выбрать |, т), 9, ф, ар. В данном примере п = 5, к = 3, 1 = 2.
