Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
8=1
Функцию Лагранжа L называют кинетическим потенциалом механической системы. Зная кинетический потенциал, можно написать уравнения движения системы, так что фактически он полностью определяет всевозможные движения механической системы. В дальнейшем мы встретимся еще с другими функциями, описывающими движения системы.
Результаты, выражаемые уравнениями (6.6.3) и (6.6.4), можно распространить и на некоторые случаи, когда заданные силы зависят от скоростей. Если работа заданных сил на произвольном виртуальном перемещении может быть выражена в форме
і IXf)<6-6-5>
г=1 Чг
где V зависит от q и q (а также, возможно, и от t), то уравнение (6.6.2), в котором L=T — V, по-прежнему сохраняет силу. Уравнения (6.6.3) и (6.6.4) также остаются справедливыми.
Нужно, однако, сделать следующее предостережение. Функция V может
зависеть от q лишь линейно, т. е.
• • •
— O1^r1 — a2q2 — ... — anqn + V0, (6.6.6)
где а и V0 зависят только от q (и, быть может, от і). В противном случае заданные силы были бы функциями от составляющих ускорения, что, как мы видели в § 1.4, невозможно в рамках ньютоновой механики.
Для натуральной системы функция Лагранжа имеет вид L = T — V,
где T — однородная квадратичная функция от q. В других случаях T может
содержать члены, линейные относительно q, которые, следовательно, войдут и в выражение для L. В дальнейшем (§ 10.6) мы рассмотрим влияние этих членов на уравнения движения.
§ 6.7]
ИНТЕГРАЛ ЯКОБИ
97
§ 6.7. Интеграл Якоби. Допустим, что система, описываемая функцией Лагранжа L, удовлетворяет двум следующим условиям!
1) L не содержит явно t;
2) скорость q в действительном движении является виртуальной скоростью.
В этом случае вместо 8qT в уравнении (6.6.2) можно написать qT. Тогда оно примет вид
s {Mf)-жЬ=°- <6-м>
Левую часть этого уравнения можно преобразовать к виду
4(2if)-i(?i+f b)-i(ibf-L).
r=l oqr r==1 0qT ¦ r=1 oqT
после чего, интегрируя уравнение (6.7.1), получаем
п
^'qr^-L = h, (6.7.2)
г=1
где h — постоянная. Соотношение (6.7.2) известно |как интеграл Якоби. Его называют иногда также интегралом энергии или уравнением энергии, поскольку в случае натуральной системы
п
2 q\~ = 2T (6.7.3)
r=l дЧг
и (6.7.2) эквивалентно равенству
T + V =h. (6.7.4)
Рассмотрим условия, при которых существует интеграл вида (6.7.2). Условие 1), разумеется, будет выполнено, если ни T, ни V не зависят от t. Кроме того, T не зависит явно от t, если соотношения между X и q не содержат времени. Эта возможность, однако, не единственная; иногда T не содержит явно t даже в. том случае, когда переменные х зависят от q и от t. Очевидным примером может служить равномерно вращающаяся система координат. Предположим, что система координат Ox'y'z' вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси Oz', совпадающей с осью Oz неподвижной системы Oxyz. Тогда для произвольно выбранной точки системы будем иметь
X = х' cos (ot— у 'sin cof,
у = х' sin cot-I- у' cos cof, [ (6.7.5)
Z = Z', J
где со—постоянная угловая скорость. Поэтому
'хг + У2 Л- z2 = (х' - г/'со)2 + (у' + x'(of + z'2 (6.7.6)
и, следовательно,
T = ^Sm {(х' - г/'со)2 + (y' + z'co)2 + z'2} =
= |5m(/4y'2 + 2'2)i ©Szra(a:V —/ж') +Y(O2Sm(X'2+ у'2). (6.7.7)
7 Л. А. Парс
98
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
[Гл. VI
Предположим теперь, что лагранжевы координаты выбраны так, что декартовы координаты во вращающейся системе зависят только от q и не зависят от времени. Тогда
^Sm(x'*+y'*+z'*) = Tt,
aSm(x'y' — y'x') = Tu I (O2Sm (X'* + у'*) = Т0,
(6.7.8)
где T2 — квадратичная форма от q с коэффициентами, зависящими от q,
Ti — линейная форма- от q с коэффициентами, зависящими от q, и T0 — функция от q. Таким образом, функция
T = T2 + Ti + T0 (6.7.9)
не содержит t, хотя соотношения между q и X содержат t.
Далее, работа заданных сил на виртуальном перемещении равна
S (X 8х + Y 8у + Z Sz) = S (X'Ьх' + Y'Oy' + Z'8z'). (6.7.10)
Если заданные силы, вычисленные во вращающейся системе координат, консервативны, то работа равна — 8V, где V = V (qi: q2, . . ., qn). Практически важен случай, когда имеет место симметрия относительно оси вращения Oz. В простейшем случае ось вращения вертикальна, а заданными силами являются силы тяжести.
Условие 2), очевидно, будет выполнено, если система голономна иге = к. Оно выполняется также и для неголономной системы, если коэффициенты B1. в уравнениях связи (6.2.3) все равны нулю. Последнее, очевидно, имеет место, когда система является катастатической (§ 2.3) и соотношения между X и q не содержат t, например, в случае качения сферы по неподвижной идеально шероховатой поверхности под действием силы тяжести.
§ 6.8. Явная форма интеграла Якоби. Предположим, что условия для существования интеграла Якоби выполнены, т. е. L не содержит явно t и действительная скорость является виртуальной. Тогда
п
-%qr*l-L = h, (6.7.2)
r=l дЧг
где
L = Т2 + Ti + T0-V. (6.8.1)