Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим взаимно однозначное преобразование лагранжевых координат qi, q2, ... qn к новым координатам q[, q'2, q'n, связанным с первыми соотношениями
Яг = frill Iz.....Qn, t), r=l, 2,...,/1, (6.12.1)
где fr ё C2. Нам понадобятся две леммы, аналогичные (6.1.3) и (6.1.4), а именно:
dqr dqr
dqT
d I dq,
dq's
dq's ' dq's dt
(dqr\ \ dq's )
Если
L (q, q, t) = L' (q1, q', t),
(6.12.2)
(6.12.3)
TO
г=2
dq'r zj dqs dq'T
. Ib i.
„Г dq'r ^ Ь dqs dq'r + Zi dt \ dq'T ) ^UA'
s=l "їв
= 1 dg a
s=I
Отсюда
_d_ dt
V dq'r I
dL'
dq'r
dL
u~ dL dqs _ ^__
Zj • Zj • dn' '
dir .= ! dqs dq'r dqs
dL dqs
n n
= — f V dL dq& \ "V * VZ a- dq'r) Zj
•2
= 1 dqs
dL d dt
dL dqs dqs dq'r
Определитель нений.
dqs
dq'r
(6.12.5)
.^)-S(Xf)-*}*. —
не обращается в нуль, откуда и следует инвариантность урав-
Глава VII ТЕОРИЯ ПОВОРОТОВ
§ 7.1. Движение твердого тела. При исследовании движения твердого тела с помощью уравнений Лагранжа кинетическую энергию тела мы выражаем через лагранжевы координаты, выбранные для описания его положения и ориентации в пространстве. Те же формулы используются и при исследовании движения механических систем, содержащих твердые тела. Поэтому рассмотрим подробнее теорию движения твердого тела.
Мы не ограничимся составлением функции Лагранжа для твердого тела. Наше исследование будет значительно шире, и мы получим ряд важных теорем, относящихся к перемещению и движению твердого тела. Использование некоторых из этих результатов для составления уравнений Лагранжа является лишь одним из многочисленных их приложений.
Рассмотрим механическую систему, состоящую из одного твердого тела. Положение твердого тела в пространстве определяется положением некоторой фиксированной в нем точки, например центра тяжести G, и ориентацией тела. В соответствии с этим кинетическую энергию тела можно представить в виде суммы двух частей, одна из которых определяется движением центра тяжести G, а другая — движением относительно центра тяжести, т. е. изменением ориентации тела при центре тяжести, принимаемом неподвижным (теорема Кёнига). Имеем
T = ±Sm(** + У2+ z2) =TSm {(6 + «)2+ СП+ ?)2 + (І+ V)2}. (7.1.1)
где координаты а, ?, у определяют положение частицы относительно центра
тяжести ?, т), ?. Поскольку Sma = Sm$ = Smy = 0, приходим к теореме Кёнига:
T = YM& + 4* + b) + YSm& + fc+t). (7.1.2)
В этом равенстве M = Sm есть масса тела. Кинетическая энергия представлена в виде суммы двух частей. Первая из них выражает кинетическую энергию в случае, если бы вся масса тела была сосредоточена в его центре тяжести G, а вторая — кинетическую энергию вращения тела вокруг центра тяжести G как вокруг неподвижной точки.
Чтобы определить изменение положения тела, необходимо сначала определить перемещение точки G, а затем изменение ориентации тела. Разделим две эти операции и начнем с изучения второй из них: изменения ориентации. Итак, мы переходим к исследованию движения твердого тела с одной закрепленной точкой.
§ 7.2. Теорема Эйлера. Согласно этой теореме (полученной Эйлером в 1776 г.) всякое перемещение тела с одной закрепленной точкой О представляет собой вращение. Иными словами, любое изменение ориентации тела можно произвести путем поворота тела около некоторой оси, проходящей через точку О.
§ 7.2]
ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА
105
Ориентация тела определяется направлениями двух линий OA, OB, фиксированных в теле. Отрезки OA и OB удобно взять единичной длины, тогда точки А и В будут фиксированными точками тела на единичном расстоянии от неподвижной точки О. Представим себе две сферы с центром в общей точке О: сферу радиуса единица, неподвижную в пространстве, и бесконечно тонкую сферическую оболочку с внутренним радиусом единица, неизменно связанную с телом и движущуюся вместе с ним.
Предположим, что при некотором перемещении тела точка А оболочки переходит в точку В, а точка оболочки, находившаяся ранее в В, переходит в точку С (отрезок OA при этом выбран произвольно, а отрезок OB определен только что указанным условием). Плоскость ABC пересекает неподвижную сферу по окружности (рис. 10). Пусть L — какой-либо полюс этой окружности. Равнобедренные треугольники LAB и LBC равны: дуги AB и ВС равны, поскольку представляют одну и ту же дугу движущейся сферической оболочки в двух положениях. Следовательно, дуга AB может быть переведена в положение ВС путем поворота около оси OL на угол ALB.
Отметим некоторые особые случаи. Если точка В совпадает с точкой А, то теорема очевидна и перемещение представляет собой поворот около оси OA. Если В не совпадает с А, но С совпадает с А, то в этом случае имеются две возможности. 1) Если точки А, О, В не лежат на одной прямой, то через точки А и В проходит один большой круг и переме- рис ^q1
щение представляет собой полуоборот (т. е. поворот на угол я) вокруг оси ОМ, где M — середина любой
