Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
27 д. А. Парс
418 СИСТЕМЫ С п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ. СВОЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИК [Гл. XXI
странственных интеграла. Если же они существуют, то интегрирование уравнения (21.9.3) может оказаться достаточно простым и без специального правила для отыскания интегрирующего множителя.
Теорема легко обобщается на тот случай, когда требуется найти т-ж интеграл системы (автономной или неавтономной), если известны т — 1 ее интегралов и один множитель, удовлетворяющий уравнению (21.7.20). В самом деле, как уже указывалось, неавтономную систему с т координатами можно трактовать как автономную систему с т + 1 координатами. Уравнения (21.9.1) заменятся теперь следующими:
dxt _ dx2 _ _ dxm _ dt
X1 X2 ' ' Хт 1 '
причем функции X могут содержать Z. Правило Якоби определяет интегрирующий множитель уравнения
dxm — Х'т dt = 0,
где штрих указывает на переход к переменным хт и t и т — 1 постоянным
§ 21.10. Линейная система. Перейдем теперь от системы общего вида
хг = Хг, г = 1, 2, . . ., т, (21.1.1)
к системе специального вида, правые части ХТ которой представляют линейные однородные функции от переменных Xi, х2, . . ., хт, коэффициенты которых суть заданные вещественные функции от t с непрерывными первыми производными:
Xr = Or1Xi + ат2х2-\-. . .+armxm, г = 1, 2, . . ., т. (21.10.1) Эти уравнения можно кратко записать в следующей форме:
Oc = Ax, (21.10.2)
где X — матрица-столбец {X1, х2, . . ., хт} , а А — матрица размером т X т с элементами вида ars = ars{t).
В дальнейшем (гл. XXIII) мы дадим решение уравнения (21.10.2) в общем случае, здесь же мы основное внимание уделим частному случаю, когда элементы ars постоянны (система автономна). При этих условиях решение системы, как легко видеть, запишется в виде
x = etAa, (21.10.3)
где а есть значение х при t = 0, а символ еІЛ обозначает матрицу
Jml tA + (Z2/2!) A2 + (tV3l) А9+... (21.10.4)
Действительно, выражение (21.10.3) удовлетворяет уравнению (21.10.2) и при Z=O обращает х в а. Вопрос о сходимости также не вызывает затруднений. Если I ars I < К для всех значений г и s, то \аг^ |< mp_1iCp (где а<р> — типичный элемент матрицы Ар), откуда следует, что каждый элемент матрицы etA при t > 0 не превышает выражения
I + ^ + шк* (?2/2!) + тгК* (t*/3l)+ . . . = (т - 1 + emKt)lm. (21.10.5)
Этот ряд мажорируется заведомо сходящимся экспоненциальным рядом и, следовательно, равномерно сходится в любом промежутке 0^ Z^ Z1.
г-я составляющая правой части (21.10.3) представляет собой частный случай (когда ХТ есть линейная однородная функция от X1, х2, . . ., хт) степенного ряда для хТ, полученного нами ранее (в § 21.4) другим способом.
§ 21.11]
УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ
419
§ 21.11. Устойчивость равновесия. Вернемся теперь к общему случаю автономной системы, движение которой определяется уравнениями
хг = Хт (хи х2, . . ., хт), г = 1, 2, . . ., т, (21.1.1)
и рассмотрим более подробно движение, начинающееся в окрестности особой точки поля (т. е. точки, в которой Xi = X2= . . . = X1n = 0). Поместим начало координат в особой точке, как это мы делали в гл. XIX для частного случая т = 2,ж будем предполагать, что функции Хг, обращающиеся в точке О в нуль, могут быть разложены в ряд в окрестности этой точки:
Xr = ariXi + ar2x2+ . . . +armxm + Qr, (21.11.1)
где 0r = 6Г (хі, x2, . . ., xm) таковы, что Qr/R -> 0 вместе с R, где R = | х | = = Va +х\ -f- . . . -f- Xm- Во многих случаях функции 8Г удается представить в виде степенных рядов, начинающихся с членов второй степени и сходящихся при R <С R0.
Символ R обозначает расстояние от точки (^1, х2, . . ., хт) до начала координат О в вещественном (евклидовом) пространстве (xt, х2, . . ., хт). Если допустить комплексные значения х, то выражение для R следует взять в виде R = У\ Xi |2 + I X2 I2+- • •+I sm I2- Можно также в обоих случаях
(вещественных И КОМПЛеКСНЫХ X) ВЗЯТЬ ВмеСТО R фунКЦИЮ R', равную I Xi \+
+ I X2 \+. . .+ I хт\. В данном случае подходят оба варианта, ибо величина R' мала в том и только в том случае, если мала величина R, и R' = 0 тогда и только тогда, когда R=O.
Определение устойчивости и другие связанные с этим определения аналогичны приведенным в § 19.5 для рассмотренного там частного случая. Будем обозначать через R (Z) значение R в точке (xi, х2, • • •, X1n) в момент t (иными словами, R (t) будет обозначать расстояние изображающей точки от точки О в момент t).
Будем называть равновесие устойчивым, если для заданного є > 0 можно указать положительное число и = и (є) такое, что если R (0) <; и, то R (t) <; < е для всех t^O. Иными словами, если равновесие в точке О устойчиво, то любому как угодно малому положительному числу к соответствует положительное число е такое, что неравенство R (0) < к влечет за собой неравенство R (Z) <С є для всех Z^O.
Равновесие называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и если, кроме того, существует положительное число к такое, что если R (0) < к, то R (Z) -V 0 при t-+ +оо.
