Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
#(фі. у2.....Vm)
д (CZ1, CX2, .. ., Ot7n)
не обращается в нуль ни при одном допустимом значении а и t. (Ниже мы увидим, что в важном частном случае уравнений Гамильтона этот якобиан имеет значение, равное единице.) Рассмотрим подобласть E0 области D (соответствующей уравнениям (21.1.4)), и пусть а (E E0. Тогда преобразование Tt при достаточно малых t определит топологическое отображение E0 на область Et. Оператор T0 будет определять тождественное преобразование, а оператор Г_г — обратное преобразование, отображающее область Et на E0. Два последовательных преобразования, задаваемые операторами Ttl, Tt2, обладают свойством коммутативности и эквивалентны одному преобразованию, осуществляемому оператором
Th+t2. (21.3.2)
Кроме того, оператор Tt обладает свойством ассоциативности:
Tt3(Tt2Tt1)^(T4Tt2)Tt1. (21.3.3)
Таким образом, мы имеем непрерывную однопараметрическую группу преобразований пространства х в себя.
В важном частном случае уравнений Гамильтона 2п переменных группируются в п пар (qT, Pr), и соответствующее преобразование, обладающее особыми свойствами, называется контактним преобразованием. Преобразования этого вида будут рассмотрены нами в гл. XXIV.
§ 21.4. Решение в форме степенных рядов. Рассмотрим автономную систему, обладающую тем свойством, что в области D функции ХТ имеют производные всех порядков. Введем функцию / (х), зависящую от времени. Здесь X — положение изображающей точки в момент t. Тогда будем иметь
С другой стороны,
следовательно,
г=1 г=1
^ = Xr = Qxr, (21.4.2)
= ? (Ur,)«= Q2Xr (21.4.3)
S 21.4]
РЕШЕНИЕ В ФОРМЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
407
и вообще
Если аг = а при Z = 0, то, предположив, что ряд Тейлора сходится, найдем
t-
хг = (xr)0 +1 (Qzr)o -f- "2j-Здесь ш обозначает оператор
^ = -Тхг. (21.4.4)
хг = (Xr)0 +1 (Qxr)o + ^-(--2Xr)0 + ¦ • ¦ = аг + Ыат + -= ш2аг + .. . (21.4.5)
2^(«,,?, .... On,)-^. (21.4.6)
г=1
Равенство (21.4.5) можно записать в компактной форме
Xr = eta>ar, г = 1, 2, . . ., /га, (21.4.7)
представляющей решение уравнений хТ = Хг (зс).
Ряд для хт наверняка сходится ,«если Q11Z7. ограничено (для всех п) на траектории, соединяющей а и х. Таким образом, вообще говоря, при фиксированном а ряд будет сходиться внутри круга сходимости радиуса | t | = рг. Решение будет справедливо для всех координат Z1, х2, . ¦ ., хт, если | t \ < < р (а), где р — наименьшее из чисел рь р2, . . ., рт.
В более общем случае начальная точка может не быть фиксирована, ¦а лежать в некоторой области R0. Тогда радиус сходимости | t | не должен превышать наименьшего значения р (а) для а в области R0.
Приведем другое доказательство того, что ряд (21.4.5) является решением. Согласно {21.1.7) qv (—t; X1, х2, . . ., X7n) есть интеграл уравнений (21.1.1); поэтому в соответствии с (21.1.13)
(-jf+®) «Pr (-*;? Z2, ...,Sm) = O. (21.4.8)
Следовательно,
(-|— фг(«; хи х2, ...,Xm) = O (21.4.9)
(~dT~W) фг(*; аь ага^)=0. (21.4.10)
Таким образом, функция фг (t; Oc1, ос2, ат) удовлетворяет уравнению
-^=соФг. (21.4.11)
Но если Хг — бесконечно дифференцируемые функции, то это уравнение, очевидно, удовлетворяется рядом
ar + toar +-Tji" W2Ct7.+ ..., (21.4.12)
который при t = 0 имеет значение аг. Таким образом, выражение (21.4.12) равно хТ, и мы снова получаем (21.4.5).
Решение в форме степенного ряда при достаточно малых t дает явное выражение для оператора Tt:
Tt = е(м. (21.4.13)
Отсюда легко установить основное групповое свойство. Возьмем любую аналитическую функцию /(Z1, х2, . . ., X7n) и проследим за ее изменением при движении точки х вдоль траектории. Имеем
/(*)=e*»/(a) = /(a) + to/(a)+^-co2/(a)+ (21.4.14)
408
СИСТЕМЫ C п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ. СВОЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИК [Гл. XXI
так что функция не будет изменяться только в том случае, когда
со/ (Ct1, а2, . . ., ат) = 0, (21.4.15)
т. е. только тогда, когда / (эс) удовлетворяет уравнению (21.1.11). Таким образом, инвариантные функции являются интегралами уравнений (21.1.6), т. е. они являются пространственными интегралами системы (21.1.2). Мы получили (теперь уже с иной точки зрения) подтверждение того, что интегралы (21.1.6) определяют многообразия, образованные из траекторий.
В простейших случаях степенные ряды сходятся для всех значений t (см. ниже примеры 21.4А, В). Однако в общем случае решение сохраняет силу только для достаточно малых значений t.
Пример 21.4А. Гармонический осциллятор. Уравнения имеют вид
. і = и, и = —п2х. (21.4.16)
Ищется решение, удовлетворяющее условиям: X = а, и = ? при t = 0. В рассматриваемом случае оператор со равен
и решение имеет вид
Далее, имеем
(l + to + -Jco2+...) а, (l + to+-Jw2+...) р.
(21.4.18)
toa = ?, а>2а = — ге2а,
*>*«=-n*?, f <21-4-19>
(й*а = ( — ге2)2а и т. д. Таким образом,
х = а (!_^ + ^_ . . . ) +р . . . ) =^+1^(21.4.20)
Аналогично
и = —па sin nt -f- ? cos nt. (21.4.21)
Последний результат, разумеется, проще получается из соотношения и = х. Мы пришли к хорошо известному решению. Заметим, что решения обладают свойством обратимости (см. (21.1.5) и (21.1.7)):
