Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
a = xcosnt-JL._..... (2i 4 22^
— sin nt, и cos nt. )
? = rex sinrcf-f
B рассматриваемом элементарном случае все результаты получаются из простых соображений (см. пример 19.4В). Положим и = пу, тогда уравнения запишутся в форме
X = пу, у = —пх (21.4.23)
и преобразование Tt сведется к простому повороту на угол nt по ходу часовой стрелки. Поэтому, чтобы получить явные формулы, достаточно повернуть оси координат против хода часовой стрелки на угол nt и представить координаты начальной точки в новых осях. Проделав это, получим
х = х0 cos nt -f-у0 sin nt, у = —х0 sin nt + г/о cos J
*' } (21.4.24)
S nt, J
что эквивалентно (21.4.20), (21.4.21).
Пример 21.4В. Однородное поле. Этот случай еще проще предыдущего, поскольку ряды представляют здесь конечные суммы. Имеем
x1=z4, X2 = X5, X3 = Xq, x4=O1 X6 = O1 X0 = g (21.4.25)
S 21.4-]
РЕШЕНИЕ В ФОРМЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
409
Таким образом,
д , д . д
м==а4-3— + 0?-^--Га6-3--
даа
COa1 = M4, O)Sa1=O,
COa2 = а5, со2а2 = О,
(Oa3 = ae, CAt3 = g, CuSa3 = O1
COa4 = O,
соа5 = О,
соав = g, со2ав = 0. Отсюда приходим к известному решению
xl = al + a4*> X2 = CC2 + CC^t,
1
ж3 = а3+а6г +-^-gt2,
(21.4.26)
(21.4.27)
(21.4.28)
#4 = а4,
Укажем снова на свойство обратимости решений: выразив а через (ж, t), мы придем к тем же самым формулам, но в которых ж и а поменялись местами, а t заменилось на — Пример 21.4С. Ньютоновская орбита. В этом случае имеем
Я=т(|2+^Т12)—г- (21А29)
где ?, т] обозначают соответственно pr, рд. Предполагается, что в начальный момент
(г, 0, I, г)) = (a, ?, 7, б). Уравнения движения Гамильтона записываются в виде
-6. в=Д. і
5 =
Оператор <в равен
_ _д_ _6_ J_,(&___|х_\
Ш 7 da + a2 a? + \ а=> а^ j
Для нахождения г = г(<) имеем
<?7
со'а = у,
«За = — a3
co3a
JL a2 '
362 _ 2(x
и т. д. В результате получаем
(21.4.30)
(21.4.31)
(21.4.32)
(21.4.33)
(21.4.34)
Это выражение дает приближенное значение г для малых t. Однако в общем случае удобнее пользоваться разложением в ряд Фурье (§ 18.14). Чтобы определить 0 = 0 (t), напишем сначала
гч L '
Co2? = .
2v6
2ц6 263 a6 ae
(21.4.35)
410
СИСТЕМЫ С п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ. СВОЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИК [Гл. XXI
и т. д. В результате получаем
Решение для I определяется из уравнения ? = г, а решение для г\ имеет простой вид:
T) = б.
§ 21.5. Формула для Ж (х) — А' (а). Решения уравнений (21.1.1) даются формулами (21.1.5), в которых а есть значение х при t = 0; при этом предполагается, что функции ср принадлежат к классу C2. Как обычно, на уравнения мы смотрим как на соотношения, описывающие движение изображающей точки, начинающееся из положения а в момент 1 = 0и достигающее положения X в момент t. Как ив § 21.1, частную производную dq>r/das мы будем обозначать сокращенно через <ртз.
Предположим, что в момент I = 0 изображающая точка достигает положения I,
Ir = фг(б; Kj, а2, . . ., ат). (21.5.1)
Движение, начинающееся из точки а в момент t = 0, эквивалентно движению, начинающемуся из точки | в момент t = 0, поэтому
Фг (0 + t; о) = Фг (*; |). (21.5.2)
Дифференцируя это равенство частным образом по 8, получаем
m
Хг{ф(9+*;«)}= S 4>rs(t; S)Xs{q>(0; о)}. (21.5.3)
S=I
Полагая здесь 0 = 0, находим
т
Xr(X) = 2 <Prs (t; a) X8 (о). (21.5.4)
S=I
Этот результат нами уже был получен в § 21.1 другим методом. Таким образом,
тп
Xr (X) - Xr (а) = 2 {Фг, (*; «) - or*} X8 (а). (21.5.5)
S=I
Обозначим через JT=F(t;a) матрицу размером тХт, элементы которой имеют вид
frs = фг* (t\ а) — 6rs. (21.5.6)
Тогда предыдущий результат запишется в виде
JST(Se) —JiT (о)== F (*; о) JT (о). (21.5.7)
§ 21.6. Интегральные инварианты*). Рассмотрим снова автономную систему. Оператор Tt определяет преобразование, переводящее точку а — положение изображающей точки в момент ? = 0 — в точку х, занимаемую изображающей точкой в момент t. Будем рассматривать теперь не одну начальную точку а, а совокупность точек, образующих кривую Y0- Будем предполагать, что эта кривая имеет непрерывно изменяющуюся касательную всюду, за исключением, быть может, конечного числа угловых точек. Преобразование Tt, определяемое дифференциальными уравнениями (21.1.1), переводит каждую точку о, лежащую в момент t = 0 на кривой у0, в точку х, соответствующую моменту t; эти последние точки в совокупности и образуют кривую
*) Интегральные инварианты были введены Пуанкаре (Acta Mathematica, XIII, 1890). Они нашли широкое применение в т. III его «Methodes nouvelles» [18]. См. также Э- К а р т а н, Лекции об интегральных инвариантах, M., Гостехиздат, 1940.
S 21.6]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
411
•у. Если на уравнения (21.1.1) смотреть как на уравнения, определяющие движение жидкости (см. § 21.1), то кривая у будет кривой, движущейся вместе с жидкостью, а уо — ее положением, занимаемым в момент ? = 0.