Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 185

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 179 180 181 182 183 184 < 185 > 186 187 188 189 190 191 .. 290 >> Следующая


a = xcosnt-JL._..... (2i 4 22^

— sin nt, и cos nt. )

? = rex sinrcf-f

B рассматриваемом элементарном случае все результаты получаются из простых соображений (см. пример 19.4В). Положим и = пу, тогда уравнения запишутся в форме

X = пу, у = —пх (21.4.23)

и преобразование Tt сведется к простому повороту на угол nt по ходу часовой стрелки. Поэтому, чтобы получить явные формулы, достаточно повернуть оси координат против хода часовой стрелки на угол nt и представить координаты начальной точки в новых осях. Проделав это, получим

х = х0 cos nt -f-у0 sin nt, у = —х0 sin nt + г/о cos J

*' } (21.4.24)

S nt, J

что эквивалентно (21.4.20), (21.4.21).

Пример 21.4В. Однородное поле. Этот случай еще проще предыдущего, поскольку ряды представляют здесь конечные суммы. Имеем

x1=z4, X2 = X5, X3 = Xq, x4=O1 X6 = O1 X0 = g (21.4.25)

S 21.4-]

РЕШЕНИЕ В ФОРМЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

409

Таким образом,

д , д . д

м==а4-3— + 0?-^--Га6-3--

даа

COa1 = M4, O)Sa1=O,

COa2 = а5, со2а2 = О,

(Oa3 = ae, CAt3 = g, CuSa3 = O1

COa4 = O,

соа5 = О,

соав = g, со2ав = 0. Отсюда приходим к известному решению

xl = al + a4*> X2 = CC2 + CC^t,

1

ж3 = а3+а6г +-^-gt2,

(21.4.26)

(21.4.27)

(21.4.28)

#4 = а4,

Укажем снова на свойство обратимости решений: выразив а через (ж, t), мы придем к тем же самым формулам, но в которых ж и а поменялись местами, а t заменилось на — Пример 21.4С. Ньютоновская орбита. В этом случае имеем

Я=т(|2+^Т12)—г- (21А29)

где ?, т] обозначают соответственно pr, рд. Предполагается, что в начальный момент

(г, 0, I, г)) = (a, ?, 7, б). Уравнения движения Гамильтона записываются в виде

-6. в=Д. і

5 =

Оператор <в равен

_ _д_ _6_ J_,(&___|х_\

Ш 7 da + a2 a? + \ а=> а^ j

Для нахождения г = г(<) имеем

<?7

со'а = у,

«За = — a3

co3a

JL a2 '

362 _ 2(x

и т. д. В результате получаем

(21.4.30)

(21.4.31)

(21.4.32)

(21.4.33)

(21.4.34)

Это выражение дает приближенное значение г для малых t. Однако в общем случае удобнее пользоваться разложением в ряд Фурье (§ 18.14). Чтобы определить 0 = 0 (t), напишем сначала

гч L '

Co2? = .

2v6

2ц6 263 a6 ae

(21.4.35)

410

СИСТЕМЫ С п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ. СВОЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИК [Гл. XXI

и т. д. В результате получаем

Решение для I определяется из уравнения ? = г, а решение для г\ имеет простой вид:

T) = б.

§ 21.5. Формула для Ж (х) — А' (а). Решения уравнений (21.1.1) даются формулами (21.1.5), в которых а есть значение х при t = 0; при этом предполагается, что функции ср принадлежат к классу C2. Как обычно, на уравнения мы смотрим как на соотношения, описывающие движение изображающей точки, начинающееся из положения а в момент 1 = 0и достигающее положения X в момент t. Как ив § 21.1, частную производную dq>r/das мы будем обозначать сокращенно через <ртз.

Предположим, что в момент I = 0 изображающая точка достигает положения I,

Ir = фг(б; Kj, а2, . . ., ат). (21.5.1)

Движение, начинающееся из точки а в момент t = 0, эквивалентно движению, начинающемуся из точки | в момент t = 0, поэтому

Фг (0 + t; о) = Фг (*; |). (21.5.2)

Дифференцируя это равенство частным образом по 8, получаем

m

Хг{ф(9+*;«)}= S 4>rs(t; S)Xs{q>(0; о)}. (21.5.3)

S=I

Полагая здесь 0 = 0, находим

т

Xr(X) = 2 <Prs (t; a) X8 (о). (21.5.4)

S=I

Этот результат нами уже был получен в § 21.1 другим методом. Таким образом,

тп

Xr (X) - Xr (а) = 2 {Фг, (*; «) - or*} X8 (а). (21.5.5)

S=I

Обозначим через JT=F(t;a) матрицу размером тХт, элементы которой имеют вид

frs = фг* (t\ а) — 6rs. (21.5.6)

Тогда предыдущий результат запишется в виде

JST(Se) —JiT (о)== F (*; о) JT (о). (21.5.7)

§ 21.6. Интегральные инварианты*). Рассмотрим снова автономную систему. Оператор Tt определяет преобразование, переводящее точку а — положение изображающей точки в момент ? = 0 — в точку х, занимаемую изображающей точкой в момент t. Будем рассматривать теперь не одну начальную точку а, а совокупность точек, образующих кривую Y0- Будем предполагать, что эта кривая имеет непрерывно изменяющуюся касательную всюду, за исключением, быть может, конечного числа угловых точек. Преобразование Tt, определяемое дифференциальными уравнениями (21.1.1), переводит каждую точку о, лежащую в момент t = 0 на кривой у0, в точку х, соответствующую моменту t; эти последние точки в совокупности и образуют кривую

*) Интегральные инварианты были введены Пуанкаре (Acta Mathematica, XIII, 1890). Они нашли широкое применение в т. III его «Methodes nouvelles» [18]. См. также Э- К а р т а н, Лекции об интегральных инвариантах, M., Гостехиздат, 1940.

S 21.6]

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ

411

•у. Если на уравнения (21.1.1) смотреть как на уравнения, определяющие движение жидкости (см. § 21.1), то кривая у будет кривой, движущейся вместе с жидкостью, а уо — ее положением, занимаемым в момент ? = 0.
Предыдущая << 1 .. 179 180 181 182 183 184 < 185 > 186 187 188 189 190 191 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed