Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
*) Теория множителей изложена в «Лекциях» Якоби [17].
416
СИСТЕМЫ С п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ. СВОЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИК [Гл. XXl
постоянным и их отношение MJM2- Или, иначе, из равенства (21.7.17) имеем
QM2-JL-QM1 = O; (21.8.1)
отсюда следует, что
Q(^)=O. (21.8.2)
3) Если А = 0, то M = 1 является множителем; сам объем х-простран-¦ства представляет собой интегральный инвариант. (Это справедливо также и для неавтономных систем, в которых А = 0.)
Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют множители, имеет простой вид:
QM = 0, (21.8.3)
так что множители представляют собой не что иное, как пространственные интегралы. К этому результату можно прийти и другим путем. Если M — пространственный интеграл, то он сохраняет свое значение вдоль траектории, и так как А = 0, то и V сохраняет свое значение вдоль траектории. Поэтому остается постоянным и произведение MV, откуда следует, что выражение
j M dxi dx2 . ¦ . dxm представляет собой интегральный инвариант.
4) Если т = 2, то множители являются интегрирующими множителями уравнения
X2CZx1 — Xidx2 = 0. (21.8.4)
В самом деле, интегрирующие множители ц. удовлетворяют уравнению
^№)+-^№) = 0, (21.8.5)
а это уравнение совпадает с уравнением для множителей.
В частности, если т = 2 и А = 0, то единица является множителем и одновременно интегрирующим множителем, т. е. выражение X2 dx! — — X1 dx2 есть полный дифференциал йг|>. Функция гр является функцией тока Лагранжа; она играет важную роль в изучении плоских течений несжимаемой жидкости.
5) Рассмотрим преобразование к новым переменным уи у2, . . ., ут, введенное нами в § 21.2.
В уравнениях преобразования
уТ = FT (Z1, х2, . . ., хт), г = 1, 2, . . ., т, (21.8.6)
функции FT принадлежат к классу C2 в области D пространства х; якобиан
/= 9Jfи У2Ут\ (21.8.7)
д(хи х2, ...,хт) v '
в области D не обращается в нуль. Преобразование устанавливает взаимно однозначное соответствие между областью D пространства х и областью E пространства у.
Докажем, что если M является множителем для исходной системы, то (MIJ)' является множителем преобразованной системы. Штрих здесь указывает на то, что выражение дается в новых переменных г/4, у2, . . ., ут.
Эту теорему нетрудно доказать непосредственным вычислением *), однако значительно проще воспользоваться развитым выше гидродинамическим представлением. Мы видели, что соответствие существует не только между
*) См., например, Е. Т. У и т т е к е р, Аналитическая динамика, М.— Л., ОНТИ, 1937, стр. 308.
§ 21.?]
ПОСЛЕДНИЙ МНОЖИТЕЛЬ ЯКОБИ
417
двумя пространствами, но и между двумя движениями (§ 21.2). Изображающие точки хш у в этих двух пространствах занимают соответствующее относительное положение в момент t = 0 и, двигаясь вместе с соответствующими жидкостями, сохраняют это взаимное положение в течение всего времени. В силу этого из (21.7.18) имеем
di
V (MX) = ±JL (MV) = (4>) = /' div' (T) , (21.8.8)
где штрихи указывают на то, что выражения даются в переменных уі, у2, . . ., ут. Теорема, таким образом, доказана.
§ 21.9. Последний множитель Якоби. Рассмотрим уравнения траекторий автономной системы
dxi _ dx2 _ _ dxm (^2t\ 9 1)
Xi X2 Хт
и допустим, что нам известны т — 2 пространственных интегралов
fr = Cr, г = 1, 2, . . ., т — 2, (21.9.2)
этих уравнений. Для определения траекторий требуется проинтегрировать уравнение
X'mdxm-i — X'm-idxm = 0, (21.9.3)
в котором функции Х'т, XJn-I находятся из Хт, Xm_i при переходе к Ci, с2, . . ., ст_2, хт-і, хт с помощью соотношений (21.9.2).
Если известен множитель для исходной системы, то можно определить интегрирующий множитель уравнения (21.9.3). Соответствующее правило дается известной теоремой Якоби о последнем множителе. Пусть M — множитель исходной системы {21.9.1), тогда интегрирующий множитель уравнения (21.9.3) дается выражением (MIK)', где
K= ?,(/ь /2' ••-^) , (21.9.4)
д(хи х2, ...,хт_2) ^ '
а штрих указывает на то, что величина выражается через C1, с2, . . ., ст_2, хт_и хт. Таким образом (т — 1)-й ,интеграл определяется выражением
fm-i = { (MIK)' (X'mdxm.i-X'm_idxm), (21.9.5)
что и завершает решение системы (21.9.1): все траектории найдены.
Доказательство теоремы Якоби весьма простое. Перейдем к новым переменным уг с помощью формул
Уі = fl, Уг =/2, • • Ут-2 = /т-2, Уm-l = ^m-I, Ут = Xm- (21.9.H)
В пространстве у движение происходит в плоскостях
Уі = C1, у2 = с2, . . ., ут_2 = ст_2. (21.9.7)
При этом функции Yi, Y2, . . ., Ут_2 тождественно равны нулю. Кроме того, для преобразования (21.9.6) J = K. Преобразованная система имеет вид
<~Уі _ dy2 _ dym-2 __ dxm_i _ dxm . . „ „.
о о ••• о - х'п_, - Х'т ' ^-й>
и если M — множитель для исходной системы, то (MlK)' будет множителем для преобразованной системы (§ 21.8, п. 5). Поэтому (MlK)' является интегрирующим множителем уравнения (21.9.3) (§ 21.8, п. 4), что и требовалось доказать.
Не следует, однако, переоценивать полученный результат. Как мы видели, нет гарантии, что существуют т — 2 независимых однозначных про-
