Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
В дальнейшем, если не будет оговорено противное, всюду будет предполагаться, что функции X1- удовлетворяют условиям, сформулированным выше в пп. 4) и 5), так что можно считать, что решения qpr обладают соответствующими свойствами дифферен-цируемости.
Вернемся теперь к исследованию уравнений (19.1.2). Будем их рассматривать как уравнения, описывающие движение изображающей точки (xi, х2, : . ., X1n) в те-мерном пространстве; движение этой точки является отображением движения динамической системы (не только в д-пространстве, но и в фазовом пространстве). Рассматриваемое яг-мерное пространство можно считать евклидовым пространством с прямоугольными координатами X1, X2, . . ., хт.
Иногда уравнения (19.1.2) удобно рассматривать не как уравнения, описывающие движение изображающей точки, а как уравнения, определяющие движение жидкости в m-мерном пространстве. Скорость жидкости в точке {^1, х2, . . ., X1n) в некоторый момент t будет {Z1, X2, ¦ ¦ ., X1n}. Такое представление позволяет нам вместо одного движения рассматривать целую совокупность возможных движений (или по крайней мере движений, начинающихся в некоторой области (т + 1)-мерного пространства (х, t)). Это особенно важно в случае автономной системы; движение жидкости при этом оказывается установившимся, т. е. скорость жидкости в любой заданной точке одна и та же для всех значений времени t.
Иногда уравнения (19.1.2) удобно записывать в следующей форме:
-??-=*? = . . . =ф»- = й. [(19.1.4)
Al A2 Am
Эта форма записи особенно полезна в случае автономной системы. Решения уравнений (19.1.2) имеют вид
хг = qv (t; OC1, а2, . . ., ат; т), г = 1, 2, . . ., т. (19.1.5)
360
СИСТЕМЫ C ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
[Гл. XIX
Если функции X обладают указанными выше свойствами, то существует единственное движение изображающей точки, при котором х в момент t = т принимает значение ос. Кривые в (т + 1)-мерном пространстве (х, t), определяемые уравнениями (19.1.5), называются характеристиками.
В случае автономной системы обычно принимают т = 0 (что не нарушает общности), так что х = а при t = 0. Функции Xi, X2, . . ., Хт определяют векторное поле в яг-мерном пространстве х. Кривые в пространстве х, которые описывает изображающая точка безотносительно ко времени, называются траекториями. Траектории представляют собой проекции характеристик на пространство х. Уравнения (19.1.5), определяющие характеристики, одновременно дают параметрическое представление траекторий (через параметр t).
Кривые, определяемые уравнениями
___ dx2____ _ dxm (\Q 1 6)
Xi X2 Xm
называются силовыми линиями. Через каждую обыкновенную точку поля проходит единственная силовая линия, но через особые точки могут проходить несколько силовых линий (например, через точку, в которой Xi = X2=-- . . . ...=Хт=0).
Траектории представляют собой дуги силовых линий, хотя, строго говоря, эти кривые не тождественны. Например, если а — особая точка, то начинающаяся в ней траектория есть сама точка. Силовая линия может проходить через особую точку, тогда как соответствующая траектория никогда ее не достигает. Задача отыскания характеристик распадается на-два этапа: определение траекторий и установление связи между положением точки на траектории и временем. После того как траектории найдены, второй из этих этапов осуществляется просто, по крайней мере теоретически. Предположим, что траектория задана в виде
хТ = (xi), г = 2, 3, . . . , т. (19.1.7)
Тогда связь между положением точки на траектории и временем определяется из уравнения
-^= dt, (19.1.8)
где
X = X (X1) = X1(X1, ^1, ^2, ...,4?»). (19.1.9)
В случае автономной системы, если выходящая из точки а в момент 2 = 0 характеристика задается уравнениями
хТ = фг U; осі, «2, • • ., am), г = 1, 2, . . ., т, (19.1.10)
то другая характеристика описывается уравнениями
xr = фг (t — ?0; OC1, ос2, . . ., ocm), г = 1, 2, . . ., т. (19.1.11)
Все характеристики (19.1.11), соответствующие различным значениям t0, расположены на одной и той же траектории; различие между ними состоит лишь в том, что изображающая точка при своем движении по разным характеристикам проходит данное положение на траектории в различные моменты времени.
В случае автономной системы, если движение точки начинается в момент t = 0 из положения А в m-мерном пространстве, то последующие (при t ^ 0) положения изображающей точки составляют положительную полухарактеристику, исходящую из точки А. Аналогично, положения, занимаемые изображающей точкой в моменты t ^ 0, при условии, что в момент t = 0
§ 19.2]
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ПО ПРЯМОЙ
361
она попадает в положение А, составляют отрицательную полухарактеристику, начинающуюся в точке А *).
Решения уравнений (19.1.2) обладают рядом важных и интересных свойств, в особенности для автономной системы; с некоторыми из них мы познакомимся в гл. XXI. Однако единственным случаем, для которого в настоящее время развита достаточно полная теория, является случай автономной системы при т = 2. Именно этот случай будет предметом рассмотрения этой и следующей глав. Простейшим примером может служить прямолинейное
