Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
(19.1.3)
358
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
[Гл. XIX
вещественны, а затем покажем, что некоторые результаты можно распространить и на случай комплексных переменных.
1) Основная теорема существования для уравнений (19.1.2) впервые была доказана Пеано в 1885 г. Предположим, что функции X однозначны и непрерывны в области R, которая является связным открытым множеством вещественного (т + 1)-мерного евклидова пространства (хіг х2, ¦ ¦ ., хт; t). Пусть (Cc1, сс2, . . ., сст; тг) будет точкой пространства R. Основной результат заключается в том, что существует решение уравнений (19.1.2), проходящее через точку (осі, сс2, • . ., сст; т). Точнее, существуют положительное число хит функций X1 [t), х2 (?), . . ., хт (t), определенных на промежутке времени /,
I t — T I < к,
и обладающих следующими свойствами:
a) хг (т) = а,/,
b) хг (Ґ) существует и непрерывна в /;
с) точка [X1 (t), х2 (t),
(t); t] лежит в области R, если * g /;
с!) функции хг (t) удовлетворяют уравнениям (19.1.2). Промежуток времени / можно взять замкнутым, если условиться считать, что производные хТ {t) на концах промежутка равны их односторонним значениям.
Выше речь шла о фиксированной начальной точке («i, сс2, . . ., oc7n; т) области R. В более общем случае можно считать, что начальная точка выбирается произвольно среди иочек некоторой подобласти области R; при этом решение будет зависеть не только от t, но от т + 2 параметров: t; «i, ос2, . . ., gc7n; т. Получаем
хТ = фг (t; ел, аг, • » •» «m! т)> г = 1, 2, . , ., т.
2) Основная теорема существования ничего не говорит о единственности решения. В общем случае решение не является единственным, если только функции X не подчинены некоторым дополнительным ограничениям. Для доказательства достаточно рассмотреть простой пример, в котором т=1:
X = ~|/| X |.
Областью R в данном случае будет вся плоскость (t, х). В полуплоскости х ^ 0 решение имеет вид
а в полуплоскости х ^ О
t> U
X=—j(t-t2)2,
Кроме того, имеем решение х = 0, справедливое для всех t. Зависимость х от ? для этих решений показана графически на рис. 72. Из рисунка видно, что решение, соответствующее начальной точке (т, а), не является единственным (одно из возможных решений отмечено на рисунке жирной линией). Если ос Ф 0, то в некоторой окрестности точки (т, а) решение единственно; если же ос = 0, то окрестности (т, а), в которой решение единственно, не существует.
3) Промежуток времени / в формулировке основной теоремы существования в общем случае не является наибольшим промежутком, в котором существует решение, проходящее через точку (Gt1, GC2, . . ., ост; т). Обычно этот промежуток можно расширить влево и вправо и получить решение, определенное на максимальном открытом интервале а < t < Ъ, называемом естественным интервалом определения решения. При этом числа а и Ъ зависят от выбора точки (cci, сс2, . . ., Oc777; /) и выбранной ветви решения, если оно не единственно. В рассмотренном примере а может равняться —оо, а і может равняться +°°, так что имеются четыре типа естественного интервала определения решения.
Если функции X1. Jz1, х2, ...,хт; t) ограничены в области R, то при стремлении t к конечной граничной точке естественного интервала (если такая точка существует)
Рис. 72.
S 19.1]
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
359
решение [xi (t), X2 (t), . . ., хт (t); t] стремится к точке, расположенной на границе области Л.
4) Положение существенно упрощается, если дополнительно предположить, что функции X1. принадлежат к классу Ci в области R. Это предположение приводит к следующим важным следствиям:
a) Решение, проходящее через точку (сц, а2, . . ., ат; т),
хт = Фг С: «і. а2, • • -і «да! т),
является единственным.
b) Рассмотрим совокупность решений, проходящих через точки (cti, U2, . . ., сст; т) подобласти D области R. Из сделанного предположения (о том, что каждое X1. 6 Ci в области R) следует ряд свойств решений как функций от («і, сс2, . . ., о.т; ¦%). Именно, функции срг имеют первые производные дут1дав и д<рг/дт и эти производные непрерывны в области Е, определяемой условием
(«і, а2, . . ., ат; т) 6 D, а < t < 6.
c) Вторые производные d\r/dt2 и d2(pr/<W <9cts = d\r/das dt существуют и непрерывны в области Е.
5) В некоторых задачах функции X содержат параметры Xi, X2, . . ., Хр. Обычно приходится иметь дело со случаем, когда значения (X1, X2, . . ., Хр) принадлежат некоторой области L, например окрестности выбранной точки (XI, Xo, . . ., Ц). Решения будут зависеть от параметров X (а также, конечно, от t, а и т):
хг = Фг С! аь а2. ¦ • -, «т; Xi, X2, . . ., Хр), г = 1, 2, . . ., то.
Это решение определено в интервале а < t < b, причем пределы а и Ъ зависят теперь, помимо а и т, еще от параметров X. Если считать, что функции ХТ принадлежат классу Ci в области Е, определяемой условием
(cti, Ct2, » . ., Ct7n; т) ? D, а < t < Ъ, (X1, X2, . . ., Хр) ? L,
то первые производные d<pr/dt, d(fr/das, д(рг/дт, d<pr/dXs и вторые производные d\r/dt-, d\rldt das = d-(fr/das dt и d\r/dt dXs = d-<prfdKs dt существуют и непрерывны в области Е.
