Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
1
Г=ута2(Є2+ sin26(p2), F = mgecos0. (18.11.1)
Угол 6 отсчитывается здесь от вертикали, направленной вверх. Полагая, как и ранее, г = cos 9 и вводя безразмерное время т = t ~[/g/2a, можем написать (опускчя положительный множитель)
Г=1(1_г2) |ф>2+ (1^г22)а j , F = z (18.11.2)
(штрихом здесь обозначено дифференцирование по т).
Таким образом, система имеет стандартную форму (17.2.13) разделимой системы с двумя степенями свободы, и если за координаты х, у принять ф, z, то будем иметь
X = O, P = 2, 1=0, Y=l~z2, Q = 2(1 - г2)2, т) = z (1 - г2). (18.11.3) Таким образом,
R = 4а, S = 4 (1 — z2)2 {(h — Z) (1 — г2) - а} = 4 (1 — г2)2 / (г) (18.11.4)
346
СИСТЕМЫ C п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[Гл. XVIII
Л'=УаФ+ j yj—e,z. (18.11.5)
Интегралы уравнений движения Лагранжа будут иметь вид
dz -
Т-Т0=0+І2УГ'
о 1 _ Г dz j
21/аФ J 2(1-г2) У/' J
(18.11.6)
Поскольку мы имеем либрацию, выбор знака радикала У/ (г) производится обычным образом: когда z возрастает, берется положительный знак, а когда z убывает — отрицательный. Координата tp, как мы видели, непрерывно возрастает, поэтому удобней перейти к новой переменной s = sin tp. Обозначим интегралы, содержащие У/(г), через А и В:
или, точнее,
Z 2
Г (" dx
^=J4 ущ-« H (і-**)у/й • (18Л1Л)
При колебании г между пределами Z3 и Z2 эти функции непрерывно возрастают. Они многозначны (см. § 18.5), так что значение А (или В) зависит не только от величины z, но и от числа совершенных колебаний, а также от того, возрастает ли переменная z или убывает. Имеем
§dz Г dz С dz f d
~W i~VTW' 0=$ (і-**) VJ =2 J IT=^
Z3 Z3
Вычислим элементы матрицы (cors):
dz
(18.11.8)
1 .
w11 ==0, «2I=Y^o. j
. \ (18.11.9)
" Va' " 2 Следовательно,
^=J^-^- "2 = І- (18Л1Л0)
ПерИОДИЧеСКОе ДВИЖеНИе Имеет МеСТО ПрИ УСЛОВИИ, ЧТО Отношение |Хі/[_12 есть число
рациональное, и это согласуется с (5.3.13). Ii и I2, соответствующие Ki и K2, выражаются -формулами
Ii = 2nVa, I2j~2 dz. (18.11.11)
Интересно проверить формулу (хг = dhldlr непосредственным вычислением. Соотношение между h и Ii и I2 можно записать в виде
7^=§T=i5-|^(A-z)(1-sa)-A&- (18.11.12)
Дифференцируя это равенство по J1 и по /2, находим
°=§2(1-!2)У7{(1-г2)^-А-} ^-i^o-Ai2-B0, л
I
(18.11.13)
•откуда получаем (18.11.10)
§ 18.12]
ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
347
Найдем теперь явные выражения для угловых переменных. Уравнения (18.6.1) имеют вид
O + ^A = O+I-A0V2, }
1 1 я 1 I (18Л1-14^
Отсюда следует, что
1 , B0Va IA В \ А .. .Г1
"'=1**+-?- (¦A0-H0-)' "ї=^г- (18Л1Л5)
Как и следовало ожидать, эти формулы показывают, что когда дг проходит цикл своих значений, в то время как остальные q остаются без изменения, vr увеличивается на единицу. Следует иметь в виду, что сказать, что ф проходит цикл своих значений,— это то же самое, что сказать, что ф возрастает на 2п.
Соотношения между V и q можно получить также по способу, описанному в § 18.9. Имеем
z
К' = ^1^+]!=*^1**, (18.11.16)
Z3
где
F= (h' — z) (1 - z2) - (іУ2л)2, (18.11.17)
а через h' обозначено h, выраженное через J1 и I2 с помощью соотношения (18.11.12).
Легко убедиться в том, что уравнения vr = дК'IdI1. вновь приводят нас к формулам (18.11.15).
Наконец, если положить
S-^ = P(t+ «з) (18.11.18) (см. (5.2.40)) и при г---т = 0 считать z = z3, то будем иметь
A = [ _^ = 2т, A0= 4щ. (18.11.19)
С помощью формул (18.11.15) получаем, что v2 = AlA0 —- т/(2а>і), и, так как |г2 = ~- 1/(2«Bi), находим, что v2 = (х2т.
§ 18.12. Задача двух тел. Пусть солнце S массы M и планета P массы т1 движутся в пространстве под действием сил взаимного притяжения у Mm Jr2. Движение планеты относительно Солнца происходит так, как если бы Солнце находилось в покое, а планета двигалась с ускорением у (M + mjjlr2, направленным вдоль прямой PS. Траекторией в относительном движении планеты будет коническое сечение, в фокусе которого находится Солнце. В § 5.4 было дано элементарное решение этой задачи. В этом и последующем параграфах мы снова рассмотрим относительное движение планеты, на этот раз с позиций теории квазипериодических движений. Мы ограничимся случаем эллиптических орбит, что позволит нам достаточно полно проиллюстрировать различные аспекты теории.
Движение планеты P относительно Солнца S характеризуется следующей функцией Гамильтона:
H = (lrf+ ^4 + -1^) — (18.12.1)
где Li = у (M + mt). Мы здесь пользуемся сферическими полярными координатами и угол Э отсчитываем не от полюса, а от экватора, как это принято в астрономии. Приняв г, 9, ср соответственно за q\, q2, qs, будем искать полный интеграл К либо путем непосредственного решения модифицированного уравнения в частных производных, либо с помощью теоремы Штеккеля.
348
СИСТЕМЫ С п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[Гл. XVIII
Следуя первому из этих способов, запишем уравнение в частных производных: Решение его ищем в форме
