Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
К = Ct3Cp + R + 0, (18.12.3)
где R=R (г), 0 = 6 (9). Подставляя его в уравнение (18.12.2), получаем Г2 (^-^-2^) + (0-2+^)=0. (18.12.4)
Левая часть этого равенства представляет сумму функции от г и функции от Э; следовательно, каждая из них должна быть постоянной. Функция от 6,. очевидно, положительна, так что можно написать
0'
2_
-^--а», г2 (i?'2-^--2Ct1) = -а\ (18.12.5)
cos2 0 и, следовательно,
R'* = 2а.+^-*f-, 0'2 = «!-^?-- (18.12.6)
Полный интеграл теперь находится сразу. Без сколько-нибудь существенной потери общности параметры Ct2 и Ct3 можно считать положительными, тогда из формулы для 0'2 следует, что Ct2 > Gt3. В интересующем нас случае Gt1 < 0, квадратичная форма 2CC1T-2 + 2р,г — ос2 имеет два вещественных положительных нуля т-!, г2 (0 < T-J < г2) и движение по координате г представляет собой либрацию между пределами T1 и r2. В дальнейшем мы будем предполагать, что параметры CC1, ct2, Ct3 удовлетворяют неравенствам
Ct2 > Ct3 > 0 > Ct1. (18.12.7)
Выбирая теперь обычным образом нижние пределы интегралов, будем иметь
К
= j jA*,+ -^-dr-'r j j/ajj--^ d8 + a3«p. (18.12.8)
ri
Интегралы лагранжевых уравнений движения имеют вид
t-
]А«і +
-?2 = - j к2 + [ , (18.12.10)
-?a= - j "«^'^ + ф.' (18.12.11)
cos2 0
Эти уравнения являются основными в излагаемой теории. Движение по координатам г и Э представляет либрацию, а координата ср все время возрастает. С подобным явлением мы уже встречались ранее, в § 18.1Ij так же как и там, здесь удобно заменить ср новой переменной s = sin ср. После такой замены
¦§ 18.13]
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ а И ?
349
лзторое слагаемое правой части уравнения (18.12.11) запишется в виде
[ ds J УГ=^ '
и мы будем иметь либрацию по s между пределами +1 и —1.
Отвлечемся на время и выясним, в чем состоит отличие полученного нами результата •от решения, получаемого с помощью теоремы Штеккеля. Одно из таких отличий очевидно: в решении Штеккеля параметры а входят линейно в выражения, стоящие под радика--лом. Мы имеем
/1 —!/г2 0 ч /-V-Ir ¦
W=[o 1 -1/COS20J, W = I 0 I (18.12.12)
Vq 0 1 / Vo
JjZ2(Oi+-^—) dr + (^(«і—^^"Іда+УгаІФ (18.12.13)
п О
{параметры здесь для отличия их от предыдущих снабжены штрихами). Эти две группы параметров связаны между собой формулами
a, = GC1, осі = 4-а2,, осі =-!г а?, 1 і і' 2 2 г. з 2 з. і (18.12.14)
Pi = ?i. Р2 = р2/а2, Р3=Рз/«з- і
Преобразование параметров (а, ?) в (а', ?') является однородным контактным преобразованием (см. § 15.8):
з 3
?r **r = S ?r d«r. (18.12.15)
r=l r=l
•Значение этого факта станет ясным позднее.
§ 18.13. Интерпретация параметров а и ?. Равенство (18.12.11) можно переписать в следующей форме:
9 в
sec20d0 _ Г d (%g Q)
Ф + Рз = j
Следовательно,
7/f-SCC20 о /(!--!)-^0
tge = |/ -g—1 8Щ(ф+Рз).
(18.13.1)
(18.13.2)
Мы получили линейное соотношение между направляющими косинусами '(cos Э cos ф, cos Э sin ф, sin Э), откуда следует, что траектория планеты плоская. Это, впрочем, очевидно и из элементарных соображений. Если через ф0 обозначить долготу восходящего узла, а через і — наклон орбиты (т. е. наклон плоскости орбиты к плоскости экватора z = 0), то с помощью известных формул сферической тригонометрии (рис. 69) получим
tg Є = tg і sin (ф — фо). (18.13.3)
Сравнивая (18.13.2) и (18.13.3), находим
Рз = — Фо> аз/«2 = cos і. (18.13.4)
Обращаясь теперь к соотношению (18.12.10),
видим, что каждый интеграл справа имеет очень простой смысл:
350
СИСТЕМЫ C н СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
[Гл. XVHr
где
T = T (4 + 4) + Т (?-?) cos.Г- (18.13.6)
При вычислении интеграла
a2dQ
У«|—а§ sec2 8
(18.13.7)
4 (4+4) +4 (4-4)cos <18-13-12>
воспользуемся подстановкой
sin Э = sin г sin и. (18.13.8)
Здесь и обозначает угловое смещение относительно восходящего узла, измеряемое в плоскости орбиты. Получаем
0 Є и
(a2dQ С cos 8 dQ f sin і cos и du . „ „.
., ¦ —= \ „ . = \ , --=и. (18.13.9)
о Уа1 — alsec^e ' 1/cos2 9— cos2 і J У sin2 і —sin2 8
Равенство (18.12.10) принимает теперь простую форму:
ф = и + B2, (18.13.10)
и так как при г = T1 i|i = 0, то
?2 = -u0, (18.13.11)
где U0 — значение и в перигелии. Из формул (18.13.6) и (18.13.10) получаем уравнение орбиты в своей плоскости:
г
Это есть уравнение эллипса. Вводя обычные обозначения а, е для большой полуоси и эксцентриситета, получаем
П = а (1 - е), r2 = а (1 + е), (18.13.13)
и так как г4, г2 суть нули полинома 2afr2 + 2u,r — а2., то
„iL = ri+T2 = 2a, _^ = Гіга = а2(1-е2). (18.13.14)
Следовательно,
at = — |і/(2с), a2 = Ур^, (18.13.15)
где р = а (I — е2) есть фокальный параметр эллипса.
